Matemáticas aplicadas

terrenos de roca dura. El costo del oleoducto es de P dólares
por milla sobre el último tipo de terreno, 3P dólares por
milla sobre pantanos y 2P dólares por milla sobre la tundra.
El oleoducto constará de tres secciones rectilíneas, una
a través de cada tipo de terreno; sean x las millas hacia el
este atravesando la franja de tundra y sean y millas más hacia
el este a través de los pantanos. Exprese su costo total
en términos de x y y.
17-2 DERIVADAS PARCIALES
Abordamos ahora el asunto de la diferenciabilidad de funciones de varias variables.
En esta sección, sólo nos interesará el aspecto mecánico de la diferenciación, pero
en las siguientes secciones, estudiaremos la interpretación y aplicación de las derivadas
resultantes.
Sea z f(x, y) una función de dos variables independientes. Si la variable y
se mantiene fija en el valor y y 0
, entonces la relación z f(x, y 0
) expresa z como
una función de la variable x. Esta función tendrá como gráfica una curva en el plano
xz, la cual en realidad es la sección vertical de la gráfica de z f(x, y) definida
por el plano y y 0
.
La figura 11 ilustra una sección típica z f(x, y 0
). En un punto general en esta
curva, se puede construir la recta tangente y su pendiente puede calcularse derivando
z respecto a x a partir de la relación z f(x, y 0
). Esta derivada se calcula de
la manera ordinaria como un límite de acuerdo con la siguiente fórmula:
d
f(x x, y
f(x, y d x 0
) lím
0
) f(x, y 0
)
x→0 x
Se denomina la derivada parcial de z con respecto a x y, por lo regular, se denota
por z/x. (Observe que usamos y no d en esta situación. El símbolo d se reserva
para la derivada de una función de una sola variable).
z
y y 0
z f (x, y 0 )
Pendiente ∂ z
∂x
0 x x
FIGURA 11
DEFINICIÓN Sea z f(x, y) una función de x y y. Entonces la derivada parcial
de z con respecto a x se define por
730 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES