Matemáticas aplicadas

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x y t u y 0 1 2 7 1 7 2 x 1 0 1 7 4 7 1 0 0 4 7 5 7 Z 8 La SBF para esta tabla corresponde a t u 0. Observe que el último renglón de la tabla corresponde a la ecuación Z 8 4 7 t 5 7 u de modo que cuando t y u son cero, el valor de Z puede determinarse de inmediato: Z 8 0 o Z 8. Los valores correspondientes de x y y pueden localizarse en la última columna y 2 y x 1. Todos los indicadores son ahora negativos. Esto significa que si alguna de las variables t o u hubiera dado un valor positivo, Z decrecería. Así que el valor máximo de Z se obtiene haciendo t u 0, esto es, tomando la SBF en que x 1 y y 2. En general, el procedimiento símplex debe detenerse cuando no quedan indicadores positivos. EJEMPLO 1 (Decisiones sobre producción) Una compañía produce dos tipos de calculadoras electrónicas, un modelo estándar, cuya utilidad es de $5 y un modelo de lujo, cuya utilidad es de $8. La compañía estima que su red de distribuidores a lo más puede manejar 1000 calculadoras a la semana. Debido al rápido crecimiento de la industria de las calculadoras, existe una disminución tanto en las partes como en la mano de obra calificada necesaria para ensamblar las calculadoras. La compañía puede obtener un suministro semanal regular de sólo 5000 circuitos electrónicos (chips) necesarios para las calculadoras; cada calculadora regular necesita 3 de estos chips y cada calculadora de lujo requiere 6. Mas aún, la compañía sólo dispone de 2500 horas-hombre de mano de obra calificada a la semana; cada calculadora regular demanda 3 horas-hombre y cada calculadora de lujo necesita 2. ¿Cuántas calculadoras de cada tipo deberían producirse a la semana con la finalidad de maximizar la utilidad total Solución Denotemos con x el número de calculadoras regulares y con y el número de calculadoras de lujo producidas cada semana. Esto requiere de 3x 6y chips y de 3x 2y horas-hombre de mano de obra. Así que, x y y deben satisfacer las restricciones x 0, y 0, x y 1000, 3x 6y 5000 y 3x 2y 2500. La utilidad semanal es Z 5x 8y Definiendo las variables de holgura t, u y , las restricciones pueden escribirse en la siguiente forma: 3x 3y t u 1000 3x 6y t u 5000 3x 2y t u 2500 en donde x, y, t, u y son mayores o iguales que cero. Así, tenemos la tabla símplex que aparece enseguida. SECCIÓN 10-4 MÉTODO SÍMPLEX 431
☛ 15. Resuelva el siguiente problema de programación lineal: Maximizar Z x 2y sujeta a x y 4, x 5y 8, x, y 0 x y t u 0 →t 1 1 1 0 0 1000 1000 1 1000 →u 3 6 0 1 5000 5000 6 1833.3 → 3 2 0 0 1 2500 2500 2 1250 →w 5 8 0 0 0 Z ↑ El más grande de los indicadores es 8, en la columna y, de modo que y se convierte en la variable de entrada. Con el propósito de decidir sobre la variable de salida, consideramos las razones de los elementos de la última columna a los que aparecen en la columna y: la más pequeña de estas razones, 5000 6, ocurre en el renglón u, por lo que u es la variable de salida. Debemos en consecuencia transformar la columna y a la forma 0 1 0 0 dejando intactas las columnas t y . La sucesión de operaciones entre renglones R 1 1 6 R 2 , R 3 1 3 R 2 , R 4 4 3 R 2 y 1 6 R 2 logra esto: Respuesta x y t u t 1 1 1 0 4 4/1 u 1 5 0 1 8 8/5 ← 1 2 0 0 Z ↑ y entra y sale u: xy t u t 4 5 0 1 1 5 Z 1 2 1 2 5 5 / 4 5 3← y 1 5 1 0 1 5 Z 8 5 8 5 / 1 5 8 3 5 0 0 2 5 Z 1 6 5 ↑ Ahora x entra y sale t: x y t u x 1 0 5 4 1 4 Z 3 u 0 1 1 4 1 4 Z 1 0 0 3 4 1 4 Z 5 Entonces, la solución óptima es x 3, y 1, Z máx 5 x y t u →t 1 2 0 1 1 6 0 Z 50 0 3 →y 1 2 1 0 1 6 0 Z 25 00 3 → 2 0 0 1 3 1 Z 25 00 3 →w 1 0 0 4 3 0 Z 20, 3 ↑ 50 0 3 25 00 3 000 1 2 333 El indicador positivo más grande ahora es 1, en la columna x, de modo que x es la variable de entrada en la siguiente etapa. Calculando las razones que involucran la última columna y la columna x, encontramos que la razón más pequeña ocurre en el renglón t, de modo que t es la variable de salida. Por consiguiente, efectuamos las operaciones entre renglones R 2 R 1 ,R 3 4R 1 ,R 4 2R 1 y 2R 1 . x y t u x 1 0 2 1 3 0 Z 10 00 3 y 0 1 1 1 3 0 Z 20 00 3 0 0 4 1 3 1 Z 3 50 0 w 0 0 2 1 0 Z 7000 25 00 3 1 2 1667 2 417 En esta etapa, todos los indicadores son negativos o cero, de modo que no podemos mejorar el valor de Z por algún otro cambio de base. El valor óptimo de Z es 7000, que se alcanza tomando x 10 00 3 y y 20 00 3 . Así que la compañía deberá producir 333 calculadoras regulares y 667 de lujo a la semana. ☛ 15 El método símplex puede resumirse por la sucesión de los siguientes pasos: 432 CAPÍTULO 10 PROGRAMACIÓN LINEAL
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QUINTA EDICIÓN Matemáticas aplica
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ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W
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Contenido PREFACIO xi PARTE UNO ÁL
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PARTE DOS MATEMÁTICAS FINITAS 7 PR
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Repaso del capítulo 14 615 Problem
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• Prácticamente todos los ejerci
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CAPÍTULO 1 Álgebra Álgebra y alg
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La segunda forma de la propiedad di
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☛ 3. ¿Cuáles propiedades de los
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☛ 4. ¿Están definidas las expre
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EJEMPLO 2 a) 3 5 7 9 3 5
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☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mí
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Por tanto la expresión dada es igu
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TEOREMA 6 a c b c a b (c 0)
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Esto sugiere que la tabla se comple
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En una expresión, tal como 3c 5 ,
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33. (x 2 y) 3 34. (a b 2 ) 1 49.
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DEFINICIÓN Sea n un enero positivo
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3 9 EJEMPLO 6 Encuentre m tal que
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x3 35. x /7 1/7 y2/ 5 y1/ 5 36.
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Reagrupando los términos, de tal m
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18x 3 15x 2 6x 18x 3 15x 2 6x (3x
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Esta propiedad es útil cuando divi
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☛ 25. Verifique si es correcta la
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☛ 26. Saque todos lo factores com
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EJEMPLO 3 Factorice ax 2 by 2 bx
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Solución a) La factorización de x
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Con el propósito de que una expres
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) Multiplicamos por x 2 5: ☛ 34.
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5(x 2 4) (x 1)(x 2 4x 4) 3(x
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EJERCICIOS 1-7 (1-40) En las expres
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REPASO DEL CAPÍTULO 1 Resumen 1.1
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33. 64 f 3 1 41. 10t 2 13tu 3u 2
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CAPÍTULO Ecuaciones de una variabl
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Así, por ejemplo, 5 es una raíz d
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lo cual concuerda con la ecuación
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EJEMPLO 4 Solución Resuelva la ecu
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EJERCICIOS 2-1 (1-10) Compruebe si
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Paso 2 Luego, el segundo entero es
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☛ 8. ¿Cuál es el interés anual
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17. (Inversión) Una persona invirt
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Observemos que el punto crucial del
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☛ 12. Resuelva la ecuación: x 2
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Terminamos esta sección deduciendo
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41. 7x 3(x 2 5) x 3 42. 2x(4x
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a una renta de $180 mensuales. A un
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Solución Al final del primer año,
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c) Determine la altura máxima que
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16. 21x 30 45x 26 17. 32x 8 x *
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CAPÍTULO 3 Desigualdades ¿Comprar
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Por una colección bien definida, e
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☛ 3. ¿Las siguientes proposicion
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Usamos los símbolos q (infinito) y
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EJEMPLO 1 a) 3 x 2x 4 es una desi
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Pero, dado que (a c) (b c) es po
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Solución En este caso, como x apar
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mano de obra. Determine el número
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3/2 0 4 FIGURA 8 quier punto en cad
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Solución El ingreso I (en dólares
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lar de incremento en el precio, las
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establece que la distancia entre x
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Solución Utilizando la proposició
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(37-38) Exprese las siguientes afir
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42. ⏐2x⏐ ⏐x⏐ 12 *43. ⏐x
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CAPÍTULO 4 Líneas rectas El probl
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☛ 1. Grafique los puntos (4, 0),
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y (0, y 2 ) B Q (x 2 , y 2 ) (0, y
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face cuando sustituimos x 1 y y 1.
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TABLA 3 q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Grafic
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Observemos que la elevación es igu
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A través de cualquier punto, hay p
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Enseguida, supóngase que la línea
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☛ 9. Determine la pendiente y la
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Esto se ilustra en la figura 17. De
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Haciendo x 0 en la ecuación (2),
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☛ 14. Una compañía está utiliz
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(20, 25) y (30, 20). La pendiente d
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cienden a 2000 televisores al mes.
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DEFINICIÓN Un sistema de ecuacione
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Solución La primera etapa consiste
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líneas, y de aquí, dan una soluci
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Solución En este sistema, una de l
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Ahora tenemos que resolver dos ecua
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por las ventas, no hay utilidad ni
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elación lineal como una representa
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☛ 25. Si la ley de la demanda es
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EJEMPLO 7 (Subsidio y punto de equi
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(9-14) (Equilibrio del mercado) Det
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6. Pasa por los puntos (0, 0) y (7,
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CASO DE ESTUDIO EL PROBLEMA DE LA S
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5-1 FUNCIONES ☛ 1. ¿Lo siguiente
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Por tanto, g(1) g(h) 6 3h 2 2h
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les x para los cuales f (x) es un n
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En los ejemplos anteriores, hemos e
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Una función f definida por la rela
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(19-24) Evalúe [ f (x h) f (x)]/
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65. De un hoja rectangular de 20 1
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Solución Comparando la ecuación y
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☛ 14. En el ejemplo 3, exprese la
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) El ingreso I obtenido por vender
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☛ 17. Dibuje las gráficas de f (
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Algunas veces sucede que una empres
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Funciones valor absoluto Si x es un
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Solución Para 3 x 0, esto es, pa
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tintas al tiempo t; ahora, el ingre
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) g(4) 4 2. Tenemos (f ° g)(4)
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3q 600. Como una función de la ca
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La ecuación (1) podría pensarse t
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☛ 28. Dada f (x) como sigue, encu
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13. xy 2 (x 2 1)y x 0 14. y 2
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32. (Función de costo) El costo po
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CAPÍTULO 6 Logaritmos y exponencia
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EJEMPLO 1 (Inversiones) Una suma de
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Para la segunda, i 0.0305 y k 4,
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☛ 6. Suponga que $1 se invierte a
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EJEMPLO 8 (Inversión) Una inversi
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EJERCICIOS 6-1 (1-2) Si $2000 se in
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6-2 FUNCIONES EXPONENCIALES Conside
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5 y y = 3 x 1 y = ( ) 3 x 4 3 y =
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☛ 11. Utilizando los valores tabu
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35. Durante el otoño, en promedio
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Al igual que con cualquier función
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Los logaritmos tienen las cuatro pr
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) En la base de la tabla, encontram
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Logaritmos comunes En algún tiempo
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(23-28) Dado que log 5 0.6990 y lo
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Por tanto, log 2.5 0.3979 n (de
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) e (1.609)t ; c) e [ln (1i )]t P
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y y m y 0 0 t Por tanto, y se hace
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Tomando logaritmos naturales de amb
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tamaño de la población después d
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h) l n a5 ln a ln a3 2 1 i) log
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Calcule el porcentaje de la muestra
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CAPÍTULO 7 Progresiones y matemát
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El n-ésimo término está dado por
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Si la inversión es a interés simp
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☛ 7. Una PA tiene segundo términ
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* 28. (Descuento simple) La señori
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16 243 a r8 ar3 1 2 r 5 1
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S n a( 1 r n ) 1 r Esto prueba
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☛ 13. El decimal recurrente 0.515
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Planes de ahorro El tipo más simpl
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☛ 15. Utilizando la tabla A.3.4 e
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En consecuencia, la ecuación (1) t
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24. (Plan de ahorro) El señor Lóp
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que describen un proceso que evoluc
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y se satisface la ecuación en dife
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TABLA 4 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Año 1991
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☛ 25. Determine la solución para
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Por lo regular, esta ecuación en d
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Ahora, el préstamo inicial (que es
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a) Determine la ecuación en difere
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TEOREMA 2 a) n k1 b) n k1 c) n k
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☛ 32. Evalúe a) 20 (j 1) 2 j1
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
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CASO DE ESTUDIO ¿CÓMO SALVAR EL H
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Una matriz con el mismo número de
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Respuesta Calculamos la matriz de v
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a) Escriba una matriz que represent
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En consecuencia, en detalle, ☛ 8.
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Por consiguiente, AI IA A. Advert
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Definimos la matriz A m n cuyos el
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36. Dé un ejemplo de dos matrices
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2y 2. Sumando esto a la primera ec
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☛ 13. Escriba la matriz aumentada
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Usemos ahora el segundo renglón pa
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Para la primera columna aplicamos l
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8-4 SISTEMAS SINGULARES Todos los s
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Al igual que en el ejemplo 1, obtuv
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Solución La matriz aumentada es P
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*32. Daniela es la gerente de una c
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Por tanto, para el segundo año: C(
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9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ DEFINI
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o bien, Por consiguiente, a 3c b
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☛ 6. Resuelva el ejemplo 6 si 0 1
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Leontief, la economía de Estados U
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☛ 7. ¿Cuáles son las produccion
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☛ 9. Una economía de dos sectore
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9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) Un
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☛ 10. ¿Las matrices siguientes s
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Hoy Primer día Segundo día Tercer
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EJEMPLO 4 (Predicción del tiempo)
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en lugar de [0.25 0.75]. En otras p
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Estado 1 Estado 2 Estado 1 0.6 0.4
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Page 488 and 489: 59. (Móvil) La distancia recorrida
Page 490 and 491: El costo marginal mide la tasa con
Page 492 and 493: Ingreso y utilidad marginales Ahora
Page 494 and 495: La utilidad marginal es la derivada
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La razón S/I representa la fracci
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y 2 1 (2, 1) (4, 3) 1 y 0 1 2 3 4 x
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Recordemos la definición de contin
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☛ 25. (Más difícil) Utilizando
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☛ 27. (Más difícil) Demuestre q
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42. (Función de costo de la electr
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29. (p 3 3p)(p 2 1) 30. (p 3 )(
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t E(t) 6000 5 0 , para 1 t 50
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12-1 DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIE
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☛ 3. Utilice la regla del cocient
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Solución C(x) 0.003x 2 0.6x 40
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(x 31. f (x) 2 1)(2x 3) (t 3)(3
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de la función es la quinta potenci
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Para determinar du/dx escribimos u
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Sustituyendo x 5, el nivel de prod
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vertido K en planta y maquinaria. S
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Pero usando una propiedad básica d
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Por tanto, cuando se gastan $3000 e
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☛ 15. Derive a) y ln [(x 1) 2 ]
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55. y a x 56. y 3 x2 1 57. y log
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mecánica establece que cuando una
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C' (x) 17.5 10 0 50 100 150 x EJEMP
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Regla de cadena: Tasas relacionada
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CASO DE ESTUDIO PROPENSIÓN MARGINA
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CAPÍTULO 13 Optimización y bosque
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y y y f(x) y f(x) y y y y y y 0
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TABLA 1 ☛ 2. ¿Para qué valores
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31. (Análisis del ingreso marginal
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☛ 4. Proporcione los valores de x
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4 5 x3 (x 1) 1/5 [5(x 1) x] 4
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f existe para toda x, así los punt
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x 11. 2 12. x 2/3 x 1/3 33. f(x)
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☛ 9. Determine los intervalos en
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4000 C(x) 1 (150, 3162 ) 2 (100, 28
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Prueba de la segunda derivada En la
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☛ 13. Para cada una de las siguie
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☛ 14. Determine los intervalos en
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En consecuencia, la gráfica es cre
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EJERCICIOS 13-4 (1-12) Bosqueje las
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La solución de problemas de optimi
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Una de las aplicaciones más import
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☛ 19. Determine el valor de x que
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La utilidad máxima es P máx (20
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da vez, los costos de almacenamient
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31. (Modelo de costo de inventarios
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13-6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
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La tapa cuesta (r 2 )(300) dólares
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11. f(x) x ln x; e 1 x e 12. f(
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TABLA 8 x 1 10 100 1000 10,000 f(x
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Solución a) Tenemos que Por la reg
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☛ 28. Para la función 1 y , det
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a cero a través de valores positiv
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EJERCICIOS 13-7 (1-36) Evalúe, si
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Punto de inflexión. Prueba de la s
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Determine la tasa de producción x
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CASO DE ESTUDIO OPTIMIZACIÓN DE CO
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CAPÍTULO 14 Más sobre derivadas C
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EJEMPLO 2 Si y x 3 3x, determine
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☛ 3. Haciendo elecciones apropiad
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☛ 6. Vuelva a resolver el ejemplo
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Al usar esta técnica, derivamos ca
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La ecuación de la línea tangente
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☛ 11. Determine los puntos en la
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35. ln (yz) y z 36. xe y ye x 1
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EJEMPLO 3 Calcule dy/dx si y (x 2
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p x dx pf(p) dp f(p) Antes de
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La idea de elasticidad puede aplica
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e las relaciones de demanda siguien
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para los cuales la demanda es a) el
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Por otro lado, considere los siguie
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15-1 ANTIDERIVADAS ☛ 1. a) ¿Cuá
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Así, si se quiere integrar cualqui
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Precaución Las variables no pueden
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☛ 7. Determine la función de cos
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67. (Costo marginal) La función de
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☛ 8. Establezca los resultados qu
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Se sigue que 2x 3 dx u 1 2 du
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4x 1 18. dx 2x2 x 1 19. xx 2
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☛ 11. Utilice la tabla para encon
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☛ 13. Utilice una sustitución y
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Solución Elijamos f(x) x y g(x)
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☛ 16. Determine x 3 e x2 dx [Sug
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Integración por partes: f(x)g(x)
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2x) 1/2 . Determine la productivida
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U′(34.15) 0 A la izquierda de es
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16-1 ÁREAS BAJO CURVAS En esta sec
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y y f (x ) A 0 a b x FIGURA 1 a x
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☛ 5. La función de ingreso margi
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y asimismo a b f(x) dx F(x) a b
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(1-26) Evalúe las siguientes integ
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F(a), o bien, b a g(x) dx [F(b) F
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☛ 8. Determine el área entre el
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y 0 2 1 1 2 x 2 y x 2 8 4 6 y x
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☛ 12. Haga un bosquejo del área
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13. y e x , y x 2 ; x 0, x 1 14
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L 2 1 x 1 5 1 x 2 x 0 16 1
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Maximización de la utilidad con re
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con este método, el valor presente
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p SC Curva de oferta p 0 SP Curva d
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espectivamente, en donde el tiempo
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Si f(x) 0 en el intervalo [a, b],
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fórmula T(t) 13 3t 1 3 6 t 2
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Es intuitivamente claro que tendrem
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TABLA 2 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3
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x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 b) La r
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DEFINICIÓN Se dice que una funció
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espondiendo a 1900. Suponga que est
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A A(t t) - A(t) rA(t) t en donde
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17. dy/dt 2y 0; y 1 cuando t 1
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podemos utilizar este método en ve
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te restringido, pero se han encontr
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ya que se da p k/m 0.25/m. Separa
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tinuos de un intervalo dado. Por ej
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1 y y f (x) 1 y (2x 3) 4 y f (x
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ya que e d/200 → 0 cuando d → q
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y y f (x ) x FIGURA 28 la curva c
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23. (Distribución uniforme) El pes
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2. Demuestre que ab 1 dt b 1 22.
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CASO DE ESTUDIO UN PROBLEMA DE INVE
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CAPÍTULO 17 Funciones de varias va
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☛ 1. Si f(x, y) ln (x y) x y
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D {(x, y, z)⏐x 2 y 2 9, x z
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☛ 4. Dibuje curvas de nivel para
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☛ 5. Para la función z x 2 - xy
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3. f(x, t) x t 1 x 2 ; (x, t)
Page 746 and 747:
z f(x x, y) f(x, y) lím x x
Page 748 and 749:
No necesitamos aplicar la fórmula
Page 750 and 751:
☛ 8. Calcule z x , z xx y z xxy p
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46. (Microbiología) En el proceso
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las productividades marginales son
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☛ 12. Dos productos A y B tienen
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☛ 14. El ingreso, R, de una compa
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17-4 OPTIMIZACIÓN En el capítulo
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☛ 16. Sea f(x, y) (x y) 2 2(x
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Resolviendo estas dos ecuaciones, o
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por encima de 10°C y x es la canti
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Un método alternativo (que evita t
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Solución a) Aquí la función a ma
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☛ 20. Vuelva a resolver el ejempl
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19. (Inversiones) Una inversión de
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caigan sobre la línea recta, la l
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☛ 21. Determine la ecuación para
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TABLA 6 Precio (p) 2 2.25 2.50 2.75
Page 782 and 783:
z f(x, y y) f(x, y) lím y y
Page 784 and 785:
la producción de una empresa está
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CASO DE ESTUDIO DECISIÓN SOBRE PRO
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APÉNDICE I Tabla de derivadas est
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x2 1 2 11. dx (ax b) 2 a 3 a
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Integrales que contienen x 2 a 2
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Integrales diversas 1 1 79. dx
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TABLA A.3.1 Logaritmos comunes con
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TABLA A.3.2 Logaritmos naturales (c
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TABLA A.3.3 Funciones exponenciales
Page 802 and 803:
TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
Page 804 and 805:
TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
Page 806 and 807:
Soluciones a problemas con número
Page 808 and 809:
51. 125 minutos 23. u 1, v 3, w 5
Page 810 and 811:
7. x 2 9. 1 2 3 x 2 4 11.
Page 812 and 813:
f) Falso. Si A es una matriz de n
Page 814 and 815:
27. 3 x2 4 2x3/2 29. 5p 4 6p 2
Page 816 and 817:
0.4 0.2 33. 3 3 4 pulgadas 3 3 4 p
Page 818 and 819:
19. 1 9 x 2 8x 1 21. y′ x
Page 820:
i) Falso; si todas las derivadas pa
Page 823 and 824:
Bebidas y conducción de automóvil
Page 825 and 826:
Determinante(s), 380 definición de
Page 827 and 828:
decreciente, 530-534, 541, 551-555
Page 829 and 830:
Mano de obra, 743, 769 utilización
Page 831 and 832:
Programación lineal, 399-440 costo
Page 833:
maximización de la, con respecto a
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Matemáticas aplicadas

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