Matemáticas aplicadas

TABLA 4
n
0
1
2
3
4
5
6
7
Año
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
A n
1200
1600
1800
1900
1950
1975
1988
1994
y así sucesivamente. La solución completa hasta n 7 se da en la tabla 4. Vemos
que al final de 1998 el número de casos es igual a 1994.
Esta técnica de calcular la solución por medio de evaluación numérica de términos
sucesivos algunas veces se denomina solución por iteración. Es un método
muy conveniente si tiene una computadora, o incluso una calculadora programable.
El programa puede diseñarse para que repita las iteraciones sucesivas de la ecuación
en diferencias, y así calcular tantos términos de la sucesión como sean necesarios.
Ecuaciones en diferencias lineales de primer orden
En los últimos tres ejemplos construimos las soluciones de ciertas ecuaciones en diferencias
por medio de evaluación numérica directa de elementos sucesivos de la
sucesión. Este enfoque siempre es posible y, en realidad para muchas ecuaciones es
la única forma de obtener una solución. Sin embargo, existen ciertos tipos de ecuaciones
en diferencias para los cuales puede encontrarse una fórmula algebraica para
determinar el término general de la sucesión, y nuestro objetivo en el resto de esta
sección es examinar una clase de tales ecuaciones junto con algunas de sus aplicaciones,
en particular en matemáticas financieras.
En el ejemplo 4, construimos la solución de la ecuación en diferencias A n
1.12A n1
por medio de iteración numérica. Siguiendo ese ejemplo observamos que,
de hecho, la solución puede expresarse por medio de la fórmula A n
(1.12) n A 0
. Este
resultado se generaliza como sigue.
TEOREMA 1 La solución general de la ecuación en diferencias
en donde a es una constante dada, es
y n
ay n1
y n
ca n
en donde c es una constante arbitraria. El valor de c está determinado si se da un elemento
de la sucesión: si se da y p
, entonces
c y p
a p
DEMOSTRACIÓN Escribiendo la ecuación en diferencias sucesivamente para
n 1,2,3,..., encontramos
n 1: y 1
ay 0
n 2: y 2
ay 1
a(ay 0
) a 2 y 0
n 3: y 3
ay 2
a(a 2 y 0
) a 3 y 0
y así sucesivamente. Es obvio que en general y n
a n y 0
. (Si está familiarizado con
el método de inducción, será capaz de proporcionar una justificación rigurosa de este
hecho “obvio”). Así está demostrada la primera parte del teorema, con c y 0
. La
segunda parte se sigue de inmediato poniendo n p en la fórmula general: y p
a p y 0
. Entonces,
c y 0
y p
a p y p
a p
SECCIÓN 7-4 ECUACIONES EN DIFERENCIAS 295