Matemáticas aplicadas

Usemos ahora el segundo renglón para hacer que los otros dos elementos de
la segunda columna sean cero. La operación R 1
R 2
hace cero el primer
elemento y luego la operación R 3
2R 2
hace cero el tercer elemento. Podemos
realizar estas dos operaciones de manera simultánea:
1 0 1 1 2 0 4 (l) 1 0 2 5
0 1 0 1 0 1 0 1 .
0 2(0) 2 2(1) 7 2(0)
16 2(1)
Obsérvese que estas operaciones no han modificado la primera columna. Así pues,
también reducimos la segunda columna a la forma requerida, con 1 sobre la diagonal
principal y 0 en los demás lugares.
Por último, resolvemos sobre la tercera columna. Debemos transformar el tercer
elemento de esta columna a 1; esto puede realizarse aplicando 1 R 7 3
, lo cual nos
lleva a
1 0 2 5
0 1 0 1
0 0 1 2
En la tercera columna, los elementos del primero y segundo renglones también deben
ser cero. Ya tenemos un cero en el segundo renglón. Con la finalidad de obtener
un cero en el primer renglón, aplicamos la operación R 1
2R 3
. Esto da
1 0 2 2(1) 5 2(2) 1 0 0 1
0 1 0 1 0 1 0 1
0 0 1 2
0 0 1
2
0 0 7
14
Por consiguiente, hemos logrado nuestro propósito, esto es, hemos transformado
las primeras tres columnas de la matriz aumentada del sistema a una matriz
identidad. La matriz final representa al sistema
☛ 14. Es buena idea sustituir su
solución en cada una de las ecuaciones
del sistema original, para
verificar que sea correcta. Intente
esto con la solución del ejemplo 2.
0x 0y 0z 1 x 1
0x 1y 0z l o y 1
0x 0y 1z 2 z 2
del cual la solución requerida puede advertirse de inmediato. ☛ 14
A la luz del ejemplo anterior, podemos resumir los pasos requeridos en la
transformación de la matriz aumentada a su forma reducida de la siguiente manera.*
Cada paso se efectúa por medio de una o varias de las operaciones entre renglones
dadas antes.
*El procedimiento no siempre funciona y debemos modificarlo en ciertos casos. (Véase la sección 8-4.)
SECCIÓN 8-3 SOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES POR REDUCCIÓN DE RENGLONES 339