Matemáticas aplicadas

Consideremos un problema de programación lineal general con dos variables
x y y. La región factible, esto es, los puntos (x, y) que satisfacen el conjunto de
desigualdades lineales dadas tendrá la forma de un polígono en el plano xy. La ecuación
obtenida haciendo la función objetivo igual a una constante siempre representará
una línea recta en el plano xy (por ejemplo, la línea de utilidad constante). Es
intuitivamente evidente que el valor extremo (máximo o mínimo) de la función objetivo
dentro de la región factible se obtendrá cuando esta línea recta pase por un vértice
del polígono de factibilidad, puesto que al mover la línea recta en forma paralela
a sí misma, en la dirección de crecimiento (o decrecimiento) de los valores de
la función objetivo, el último punto de contacto con la región factible debe ocurrir
en uno de los vértices.
Esto se ilustra en las partes a) y b) de la figura 13, en donde se advierte una
serie de líneas con Z constante (Z denota a la función objetivo). A medida que Z crece,
la línea se mueve a través de la región factible. Los valores más grandes y más
pequeños de Z ocurren cuando las líneas hacen su primero y último contacto con la
región factible.*
Aumenta Z
a)
Aumenta Z
b)
FIGURA 13
* Cuando la región factible no es acotada, Z podría no tener un valor máximo o mínimo finito.
SECCIÓN 10-2 OPTIMIZACIÓN LINEAL (ENFOQUE GEOMÉTRICO) 415