Matemáticas aplicadas

☛ 10. Repita el ejemplo 1, si el
volumen de ventas está dado por
1 (1 0.01 A)t
x 25
4 t
este gasto está fijo en $400, el volumen de ventas después de un mes (t 1) crece
a una tasa instantánea de 335 por mes.
De manera similar, x/A da el incremento en el volumen de ventas en un instante
fijo que ocurre por cada dólar adicional gastado en publicidad. En el instante
t 1, cuando $400 ya se han gastado en publicidad, un dólar adicional gastado incrementará
el volumen de ventas en 0.11 unidades. ☛ 10
Productividad marginal
La producción total del producto de una empresa depende de un gran número de factores,
los cuales la empresa a menudo tiene flexibilidad de modificar. Por lo común
los dos factores más importantes son la cantidad de mano de obra empleada por la
empresa y el monto del capital invertido en edificios, maquinaria, etc. Denotemos
con L el número de unidades de mano de obra empleadas por la empresa (digamos en
horas-hombre por año o en dólares por año gastados en salarios) y sea K el monto
del capital invertido en la planta productiva de la empresa. Entonces la producción
total P (por ejemplo, el número de unidades del producto de la empresa producidas
al mes) es alguna función de L y K, y escribimos P f(L, K). Esta función se conoce
como función de producción de la empresa y las variables L y K son ejemplos
de factores insumo de producción (esto es, variables que afectan el nivel de
producción).
En ciertos casos, los cambios en K y L no son independientes entre sí. Por
ejemplo, si la empresa compra una máquina extra, también debe contratar mano de
obra adicional con el objetivo de operarla. Por otra parte, K y L a menudo son variables
independientes en el contexto de la estrategia de producción básica de la empresa.
Por ejemplo, la empresa puede elegir invertir una gran cantidad de capital en
una planta altamente automatizada y, de esta manera, emplear relativamente poca
mano de obra o, por otro lado, puede decidir utilizar maquinaria menos sofisticado
y más mano de obra. En general, K y L pueden considerarse como variables independientes.
La derivada parcial P/L se denomina la productividad marginal de la
mano de obra y P/K se conoce como la productividad marginal del capital.
P/L mide el incremento en la producción por incremento unitario en la cantidad
de la mano de obra empleada cuando el capital invertido K se mantiene fijo. En forma
análoga, P/K mide el incremento en la producción por incremento unitario en
el capital invertido cuando la mano de obra empleada se mantiene constante.
EJEMPLO 2 La función de producción de cierta empresa está dada por
P 5L 2L 2 3LK 8K 3K 2
Respuesta x t
25 3 0.04A
(4 t)
2
0.
005t
x A
25
A ( 4 t)
Cuando t 1 y A 400, x t
3.8,
x A
0.00125
en donde L es el insumo mano de obra medido en miles de horas-hombre por semana,
K es el monto de capital invertido medido en miles de dólares por semana y P
es la producción semanal en miles de artículos. Determine las productividades marginales
cuando L 5 y K 12 e interprete el resultado.
Solución Puesto que
P 5L 2L 2 3LK 8K 3K 2
738 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES