Matemáticas aplicadas

☛ 22. Si estudió la sección 7.5,
reescriba las ecuaciones para a y b
utilizando la notación sigma.
(15.8)(22.3) 246 106
Sin mucha dificultad puede demostrarse que 2 E/a 2 0, 2 E/b 2 0, y
(con ligeramente más dificultad) que
2
a E 2 2
b E 2
E 2
a2b
0
Respuesta
a n
x 2 i b n
x i
n
x i
y i
,
i1
a n
i1
x i
nb n
i1
i1
i1
de modo que los valores de a y b encontrados haciendo E/a E/b 0 en realidad
corresponden a un mínimo de E.
Vale la pena mencionar que el método de mínimos cuadrados no se limita a
ajustar mejores líneas rectas, sino que puede extenderse a muchos tipos de curvas.
Por ejemplo, se utiliza a menudo en el ajuste de una función polinomial a un conjunto
de datos puntuales. (Como ilustración véase el ejercicio 33 de los problemas
de repaso). ☛ 22
y i
EJERCICIOS 17-6
(1-4) Mediante el método de mínimos cuadrados determine la
mejor línea recta a través de los siguientes conjuntos de datos.
2.
3.
4.
1.
x 2 3 5 6 9 12
y 3 4 6 5 7 8
x 3 4 5 6 7 8
y 0.7 1.9 2.1 2.5 3.4 4.5
x 0 1 2 3
y 1 1.5 2.5 3
x 2 3 4 5 6
y 2 4 3.5 5 6.5
5. (Crecimiento de ventas) Una tienda por departamentos advierte
que la tendencia de las ventas de una nueva rasuradora
eléctrica es como se da en la tabla 4. Halle la ecuación
de la línea recta que mejor se ajuste a los datos.
TABLA 4
Semana número (x) 1 2 3 4 5 6
Unidades vendidas (y) 20 24 28 33 35 39
6. (Utilidades y publicidad) Una empresa descubre que sus
utilidades netas se incrementan al aumentar la cantidad gastada
en la publicidad del producto. La empresa dispone de
los registros dados en la tabla 5.
TABLA 5
Gasto en publicidad (x) 10 11 12.3 13.5 15
(miles de dólares)
Utilidades netas (y) 50 63 68 73 75
(miles de dólares)
a) Determine la ecuación de la línea recta que mejor se
ajuste a los datos.
b) Estime el dinero que debería gastarse en publicidad para
obtener una utilidad neta de $80,000.
7. (Curva de demanda) Una empresa trata de determinar la
curva de demanda de su producto. Vende el producto en varias
ciudades a diferentes precios y determina el volumen
de ventas. Después de un mes, se obtienen los datos mostrados
en la tabla 6.
a) Determine la línea que mejor ajusta los datos.
764 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES