Matemáticas aplicadas

☛ 16. En el determinante
2 0 1
4 3 5
1 1 0
evalúe el cofactor de
a) el elemento 1, 2;
b) el elemento 2, 2;
c) el elemento 3, 2
b
(1)3 1
c 1
b 3
c 3
b c 3 3
21
a 1
b 1
c 1
b
Α 2
(1)
1
c
a 1
2
b 2
c 2
a 3
b 3
c 3
b) Puesto que c 3
es común al tercer renglón y a la tercera columna (i j 3),
su cofactor es
33 a 1
b 1
c 1
C 3
(1)
a
(1)6 1
b a
1
b
a 1
1
2
b 2
c 2
☛ 16
a 2
b
a a b 2 2
2
3
b 3
c 3
La relación entre un determinante y sus cofactores se establece en el teorema 1.
TEOREMA 1 El valor de un determinante puede encontrarse multiplicando los elementos
en cualquier renglón (o columna) por sus cofactores, y sumando los productos
correspondientes a todos los elementos en el renglón (o columna) considerado.
Verifiquemos que este teorema se cumple en el caso del desarrollo del primer
renglón. El teorema establece que
a 1
A 1
b 1
B 1
c 1
C 1
(1)
Los tres cofactores requeridos son los siguientes:
A 1
(1) 11 b
2
c 2
b (b 2 c 3 b 3 c 2 )
3
c 3
a 2
c 2
a 3
c 3
B 1
(1) 12 (a 2 c 3 a 3 c 2 )
a 2
b 2
a 3
b 3
C 1
(1) 13 (a 2 b 3 a 3 b 2 )
Sustituyendo esto en la ecuación (1),
a 1
(b 2
c 3
b 3
c 2
) b 1
(a 2
c 3
a 3
c 2
) c 1
(a 2
b 3
a 3
b 2
)
Respuesta
4 5
a) (1) 12 1 05
2 1
b) (1) 22 1 01
2 1
c) (1) 32 4 514
Es fácil verificar que esta expresión concuerda con el desarrollo completo dado en
la definición de un determinante de tercer orden.
EJEMPLO 3 Calcule el determinante
2 3 1
1 4 2
3 1 4
382 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES