Matemáticas aplicadas

La utilidad marginal es la derivada P(x). Ya que P(x) es una combinación de potencias,
usamos la fórmula de las potencias para calcular su derivada.
d
P(x) (60x 0.1x 2 5000) 60 0.2x
d x
☛ 21. Para la función de costo
del ejemplo 1, determine la utilidad
marginal si los artículos pueden
venderse en $130 cada uno. Evalúe
P′(200), P′(300) y P′(400) e
interprete sus valores.
Si x 150, obtenemos P(x) 60 (0.2)(150) 30. Así pues, cuando se
producen 150 artículos, la utilidad marginal, esto es, la utilidad extra por artículo
adicional cuando la producción se incrementa en una pequeña cantidad es $30.
Cuando x 400, la utilidad marginal es P(400) 60 (0.2)(400) 20.
En consecuencia, si se producen 400 unidades, un pequeño incremento en la producción
da como resultado una pérdida (esto es, una utilidad negativa) de $20 por
unidad adicional. ☛ 21
La utilización de las tasas marginales es amplia en los negocios y la economía.
Además de los ejemplos anteriores de costo marginal, ingreso marginal y utilidad
marginal, tiene otras aplicaciones. Algunas de ellas se resumen a continuación.
Productividad marginal
Considere que un fabricante tiene una cantidad fija de disponibilidad de capacidad
de producción pero con un número variable de empleados. Denotemos con u la cantidad
de mano de obra empleada (por ejemplo, u podría ser el número de horas-hombre
a la semana de los empleados de la industria) y sea x la cantidad de producción
(por ejemplo, el número total de artículos producidos a la semana). Entonces x es
función de u y podemos escribir x f(u).
Si la cantidad de mano de obra u sufre un incremento u, la producción x se
incrementa a x x en donde, como de costumbre, el incremento en la producción
está dado por
La razón
x f(u u) f(u)
Respuesta
P′(x) 0.003x 2 0.6x 90,
P′(200) 90,
P′(300) 0 y P′(400) 150
Para un muy pequeño aumento
en el nivel de producción, las
utilidades aumentan en $90 por
unidad cuando x 200, se
mantiene sin cambio cuando
x 300 y disminuye en $150 por
unidad cuando x 400
x f(u u) f(u)
u
u
dx x
Productividad marginal lím lím
du u→0 u u→0
proporciona la producción adicional promedio por unidad extra de mano de obra correspondiente
al incremento u. Si ahora hacemos que u tienda a cero, esta razón
se aproxima a la derivada dx/du, que se denomina productividad marginal de mano
de obra. Así,
f(u u) f(u)
u
De modo que la productividad marginal de mano de obra mide el incremento en la
producción por unidad de mano de obra adicional, por ejemplo, por hora-hombre
adicional, cuando se realiza un pequeño incremento en la cantidad de mano de obra
empleada. Está dada por la derivada f(u).
SECCIÓN 11-5 ANÁLISIS MARGINAL 479