Matemáticas aplicadas

4 5 x3 (x 1) 1/5 [5(x 1) x]
4 5 x3 (x 1) 1/5 (6x 5)
Ahora f(x) 0 cuando x 3 0 o 6x – 5 0, así tenemos puntos críticos en x 0
y x 5 .
6
Sin embargo, observe que f(x) se hace infinitamente grande cuando x → 1
como consecuencia de la potencia negativa. Como f(1) está bien definida (de hecho
f(1) 0), x 1 debe ser un punto crítico del tipo en el que f(x) no existe.
EJEMPLO 3
Determine los puntos críticos de la función
f(x) x 3 e x2
Solución Utilizamos la regla del producto.
☛ 6. ¿Cuáles son los puntos
críticos de la función f, si
a) f(x) x 3 3x 2
b) f(x) x 4 – 8x 2
c) f(x) x(x – 4) 1/3
Respuesta a) x 0, 2
b) x 0, 2, 2 c) x 3, 4
f(x) 3x 2 e x2 x 3 (2xe x2 )
x 2 e x2 (3 2x 2 )
El factor e x2 nunca es cero. Por tanto, f(x) 0 cuando x 2 0 o cuando 3 2x 2 0;
esto es, cuando x 0 o cuando x 3 2 . De modo que la función dada tiene tres
puntos críticos: x 0, 3 2 ☛ 6
Prueba de la primera derivada
No todos los puntos críticos son extremos locales; varios ejemplos de puntos críticos
que no son extremos locales se ilustraron en la figura 11. El siguiente teorema
proporciona la primera de las dos pruebas que pueden utilizarse para decidir si un
punto crítico dado es un máximo local o mínimo local, o ninguno de éstos.
TEOREMA 1 (PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA) Sea x c un punto crítico
de la función f. Entonces:
☛ 7. Las siguientes funciones
tienen un punto crítico en x 0.
Aplique la prueba de la primera
derivada para determinar la
naturaleza de este punto.
a) f(x) x 3
b) f(x) x 4
c) f(x) x 1/3
d) f(x) x 4/3
Respuesta a) No es un extremo
local
b) mínimo local
c) no es un extremo local
d) mínimo local
a) Si f(x) 0 para x justo antes de c y f(x) 0 justo después de c, entonces
c es un máximo local de f. (Véase la parte a) de la figura 12. Los símbolos (),
() o (0) junto a cada parte de la gráfica indica el signo de f).
b) Si f(x) 0 para x justo antes de c y f(x) 0 justo después de c, entonces
c es un mínimo local de f. (Véase la parte b) de la figura 12).
c) Si f(x) tiene el mismo signo para x justo antes de c y para x justo después
de c, entonces c no es un extremo local de f. (Véase la parte c) de la figura 12).
Observación En la parte a) del teorema, f cambia de creciente a decreciente
cuando x se mueve a la derecha pasando por c. En la parte b), f cambia de decreciente
a creciente cuando pasa por c. En la parte c), f es creciente en ambos lados
de c o decreciente en ambos lados. ☛ 7
EJEMPLO 4 Determine los extremos locales de f, en donde f(x) x 4 – 4x 3 7
Solución
En este caso,
f(x) 4x 3 – 12x 2 4x 2 (x – 3)
SECCIÓN 13-2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS 539