Matemáticas aplicadas

☛ 10. Determine los intervalos
en donde las siguientes funciones
son cóncavas hacia arriba y en
donde son cóncavas hacia abajo.
a) f(x) 24x 2 x 4
b) f(x) e 2x2
Así que la función dada es cóncava hacia arriba si x 1 o x 2 y cóncava
hacia abajo en el caso de que 1 x 2. Estas propiedades se observan en la gráfica
de la figura 18.
y
9
8
7
6
5
(1,
19
)
6
4
3
2
8
(2, )
3
1
(1, )
7
6
2 1 0 1 2 3 x
FIGURA 18
EJEMPLO 2 Examine la concavidad de la función de costo
C(x) 2000 10x 0.03x 2 10 4 x 3
Solución
C(x) 10 0.06x (3 10 4 )x 2
C(x) 0.06 (6 10 4 )x (6 10 4 )(x 100)
Respuesta a) Cóncava hacia arriba
para –2 x 2, cóncava hacia
abajo para x 2 o x 2
b) cóncava hacia arriba para
x 1 2 o x 1 ,cóncava
2
hacia
abajo para – 1 2 x 1 2
Observemos que si x 100, C(x) es negativa, lo cual significa que la gráfica de la
función de costo es cóncava hacia abajo. Cuando x 100, C(x) 0 y la gráfica es
en consecuencia cóncava hacia arriba. La gráfica de C(x) tiene la forma que se advierte
en la figura 19. ☛ 10
La función de costo del ejemplo 2 tiene una forma cualitativa que es bastante
típica en tales funciones. Para valores pequeños de x, la función de costo por lo regular
es cóncava hacia abajo. Esta propiedad se debe al hecho de que el incremen-
546 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS