Matemáticas aplicadas

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La ecuación de la línea tangente se obtiene a partir de la fórmula punto-pendiente: ☛ 10. Determine la ecuación de la recta tangente en el punto (2, 1) en la gráfica de la relación x 3 y 3 9 y y 1 m (x x 1 ) y ( 1 ) 2 1 4 (x 2) y 1 x 4 1 ☛ 10 Cuando evaluamos dy/dx en una relación implícita F(x, y) 0, suponemos que x es la variable independiente y y la dependiente. Sin embargo, dada la relación implícita F(x, y) 0, pudimos en vez de ello considerar y como la variable independiente con x una función de y. En tal caso, deberíamos evaluar la derivada dx/dy. EJEMPLO 4 Dada x 2 y 2 4xy, calcule dx/dy. Solución Aquí x es una función implícita de y. Derivamos ambos lados con respecto a y. d (x 2 d ) (y 2 d ) 4 (xy) d y d y d y 2x d x 2y 4 dy x 1 y d x dy 2 d x (x 2y) 2(2x y) dy d x 2 x y dy x 2y Considere la relación implícita x 2 y 2 4. La gráfica de esta relación es un círculo de radio 2 y centro en (0, 0) como se muestra en la figura 2. En el ejemplo 1, calculamos que dy/dx x/y. Si dy/dx 0, entonces, x/y, 0 o x 0. Cuando x 0, y 2. Así en esos puntos (0, 2), la pendiente dy/dx de la recta tangente al círculo es cero y entonces la recta tangente es horizontal. Si en el ejemplo 1 tomamos a y como la variable independiente y diferenciamos respecto a y en lugar de x, encontramos el resultado dx dy y x Si dx/dy 0 entonces y/x 0 o y 0. Cuando y 0, x2. Así en los puntos (2, 0) tenemos que dx/dy 0. Pero en esos puntos las rectas tangentes son verticales, como se muestra en la figura. Se puede generalizar este resultado de la siguiente manera: Respuesta y 4x 9 1. Si dy/dx 0 en un punto, entonces la recta tangente es horizontal en ese punto. 2. Si dx/ dy 0 en un punto, entonces la recta tangente es vertical en ese punto. SECCIÓN 14-2 DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA 603
y dy dx 0 (0, 2) dx dx dy 0 dy 0 (2, 0) (2, 0) x dy (0, 2) dx 0 FIGURA 2 EJEMPLO 5 Encuentre los puntos de la curva 4x 2 9y 2 36y donde la recta tangente sea: a) horizontal; b) vertical. Solución Tenemos 4x 2 9y 2 36y (i) a) Derivando ambos lados de la igualdad respecto a x, obtenemos d (4x 2 d ) (9y 2 d ) dx (36y) dx dx dy dy 8x 18y 36 dx dx dy dx 8x 18y 36 Para que la recta tangente sea horizontal, tenemos que dy/dx 0, lo cual da x 0. Cuando x 0 la relación (i) da 0 9y 2 36y así que y 0 o 4. Por tanto, los dos puntos en la curva donde la recta tangente es horizontal son (0, 0) y (0, 4) b) Si en cambio diferenciamos (i) con respecto a y, encontramos el resultado dx dy Haciendo dx/dy 0, para determinar las tangentes verticales, obtenemos y 2 9(y 2) 4x 4x 9(y 2) 604 CAPÍTULO 14 MÁS SOBRE DERIVADAS
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QUINTA EDICIÓN Matemáticas aplica
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ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W
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Contenido PREFACIO xi PARTE UNO ÁL
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PARTE DOS MATEMÁTICAS FINITAS 7 PR
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Repaso del capítulo 14 615 Problem
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• Prácticamente todos los ejerci
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CAPÍTULO 1 Álgebra Álgebra y alg
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☛ 1. ¿Qué tipo de número es ca
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La segunda forma de la propiedad di
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☛ 3. ¿Cuáles propiedades de los
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☛ 4. ¿Están definidas las expre
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EJEMPLO 2 a) 3 5 7 9 3 5
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☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mí
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Por tanto la expresión dada es igu
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TEOREMA 6 a c b c a b (c 0)
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Esto sugiere que la tabla se comple
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En una expresión, tal como 3c 5 ,
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33. (x 2 y) 3 34. (a b 2 ) 1 49.
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DEFINICIÓN Sea n un enero positivo
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3 9 EJEMPLO 6 Encuentre m tal que
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x3 35. x /7 1/7 y2/ 5 y1/ 5 36.
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Reagrupando los términos, de tal m
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18x 3 15x 2 6x 18x 3 15x 2 6x (3x
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Esta propiedad es útil cuando divi
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☛ 25. Verifique si es correcta la
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☛ 26. Saque todos lo factores com
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EJEMPLO 3 Factorice ax 2 by 2 bx
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Solución a) La factorización de x
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☛ 31. Factorice 24x 4 3x Respues
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Con el propósito de que una expres
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) Multiplicamos por x 2 5: ☛ 34.
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EJERCICIOS 1-7 (1-40) En las expres
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REPASO DEL CAPÍTULO 1 Resumen 1.1
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33. 64 f 3 1 41. 10t 2 13tu 3u 2
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CAPÍTULO Ecuaciones de una variabl
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Así, por ejemplo, 5 es una raíz d
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lo cual concuerda con la ecuación
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EJEMPLO 4 Solución Resuelva la ecu
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EJERCICIOS 2-1 (1-10) Compruebe si
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Paso 2 Luego, el segundo entero es
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17. (Inversión) Una persona invirt
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Observemos que el punto crucial del
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☛ 12. Resuelva la ecuación: x 2
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Terminamos esta sección deduciendo
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41. 7x 3(x 2 5) x 3 42. 2x(4x
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a una renta de $180 mensuales. A un
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Solución Al final del primer año,
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c) Determine la altura máxima que
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16. 21x 30 45x 26 17. 32x 8 x *
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CAPÍTULO 3 Desigualdades ¿Comprar
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Por una colección bien definida, e
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☛ 3. ¿Las siguientes proposicion
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Usamos los símbolos q (infinito) y
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EJEMPLO 1 a) 3 x 2x 4 es una desi
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Pero, dado que (a c) (b c) es po
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Solución En este caso, como x apar
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mano de obra. Determine el número
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3/2 0 4 FIGURA 8 quier punto en cad
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Solución El ingreso I (en dólares
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lar de incremento en el precio, las
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establece que la distancia entre x
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Solución Utilizando la proposició
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(37-38) Exprese las siguientes afir
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42. ⏐2x⏐ ⏐x⏐ 12 *43. ⏐x
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CAPÍTULO 4 Líneas rectas El probl
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☛ 1. Grafique los puntos (4, 0),
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y (0, y 2 ) B Q (x 2 , y 2 ) (0, y
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face cuando sustituimos x 1 y y 1.
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TABLA 3 q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Grafic
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Observemos que la elevación es igu
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A través de cualquier punto, hay p
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Enseguida, supóngase que la línea
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☛ 9. Determine la pendiente y la
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Esto se ilustra en la figura 17. De
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Haciendo x 0 en la ecuación (2),
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☛ 14. Una compañía está utiliz
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(20, 25) y (30, 20). La pendiente d
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cienden a 2000 televisores al mes.
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DEFINICIÓN Un sistema de ecuacione
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Solución La primera etapa consiste
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líneas, y de aquí, dan una soluci
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Solución En este sistema, una de l
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Ahora tenemos que resolver dos ecua
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por las ventas, no hay utilidad ni
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elación lineal como una representa
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☛ 25. Si la ley de la demanda es
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EJEMPLO 7 (Subsidio y punto de equi
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(9-14) (Equilibrio del mercado) Det
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6. Pasa por los puntos (0, 0) y (7,
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CASO DE ESTUDIO EL PROBLEMA DE LA S
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5-1 FUNCIONES ☛ 1. ¿Lo siguiente
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Por tanto, g(1) g(h) 6 3h 2 2h
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☛ 4. Grafique las funciones y 4
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les x para los cuales f (x) es un n
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En los ejemplos anteriores, hemos e
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Una función f definida por la rela
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(19-24) Evalúe [ f (x h) f (x)]/
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65. De un hoja rectangular de 20 1
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Solución Comparando la ecuación y
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☛ 14. En el ejemplo 3, exprese la
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) El ingreso I obtenido por vender
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☛ 17. Dibuje las gráficas de f (
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☛ 18. Determine la ecuación del
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Algunas veces sucede que una empres
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Funciones valor absoluto Si x es un
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Solución Para 3 x 0, esto es, pa
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tintas al tiempo t; ahora, el ingre
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) g(4) 4 2. Tenemos (f ° g)(4)
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3q 600. Como una función de la ca
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La ecuación (1) podría pensarse t
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☛ 28. Dada f (x) como sigue, encu
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13. xy 2 (x 2 1)y x 0 14. y 2
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32. (Función de costo) El costo po
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CAPÍTULO 6 Logaritmos y exponencia
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EJEMPLO 1 (Inversiones) Una suma de
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Para la segunda, i 0.0305 y k 4,
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☛ 6. Suponga que $1 se invierte a
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EJEMPLO 8 (Inversión) Una inversi
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EJERCICIOS 6-1 (1-2) Si $2000 se in
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6-2 FUNCIONES EXPONENCIALES Conside
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5 y y = 3 x 1 y = ( ) 3 x 4 3 y =
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☛ 11. Utilizando los valores tabu
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35. Durante el otoño, en promedio
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Al igual que con cualquier función
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Los logaritmos tienen las cuatro pr
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) En la base de la tabla, encontram
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Logaritmos comunes En algún tiempo
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(23-28) Dado que log 5 0.6990 y lo
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Por tanto, log 2.5 0.3979 n (de
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) e (1.609)t ; c) e [ln (1i )]t P
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☛ 29. Exprese lo siguiente en té
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y y m y 0 0 t Por tanto, y se hace
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Tomando logaritmos naturales de amb
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tamaño de la población después d
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h) l n a5 ln a ln a3 2 1 i) log
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Calcule el porcentaje de la muestra
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CAPÍTULO 7 Progresiones y matemát
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El n-ésimo término está dado por
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Si la inversión es a interés simp
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☛ 7. Una PA tiene segundo términ
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* 28. (Descuento simple) La señori
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16 243 a r8 ar3 1 2 r 5 1
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S n a( 1 r n ) 1 r Esto prueba
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☛ 13. El decimal recurrente 0.515
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Planes de ahorro El tipo más simpl
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☛ 15. Utilizando la tabla A.3.4 e
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☛ 18. Utilizando la tabla A.3.4 d
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En consecuencia, la ecuación (1) t
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24. (Plan de ahorro) El señor Lóp
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que describen un proceso que evoluc
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y se satisface la ecuación en dife
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TABLA 4 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Año 1991
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☛ 25. Determine la solución para
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Por lo regular, esta ecuación en d
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Ahora, el préstamo inicial (que es
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0.5 y n y n1 y 1 00 n1 1000 1.
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a) Determine la ecuación en difere
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TEOREMA 2 a) n k1 b) n k1 c) n k
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☛ 32. Evalúe a) 20 (j 1) 2 j1
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
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CASO DE ESTUDIO ¿CÓMO SALVAR EL H
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8-1 MATRICES Una empresa produce cu
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Una matriz con el mismo número de
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Respuesta Calculamos la matriz de v
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a) Escriba una matriz que represent
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P Q R A 3 2 4 2 5 1 Producto I P
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En consecuencia, en detalle, ☛ 8.
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Por consiguiente, AI IA A. Advert
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Definimos la matriz A m n cuyos el
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36. Dé un ejemplo de dos matrices
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2y 2. Sumando esto a la primera ec
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☛ 13. Escriba la matriz aumentada
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Usemos ahora el segundo renglón pa
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Para la primera columna aplicamos l
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8-4 SISTEMAS SINGULARES Todos los s
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Al igual que en el ejemplo 1, obtuv
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Solución La matriz aumentada es P
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*32. Daniela es la gerente de una c
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Por tanto, para el segundo año: C(
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9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ DEFINI
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o bien, Por consiguiente, a 3c b
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☛ 4. Encuentre A 1 , si 5 4 A 4
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☛ 6. Resuelva el ejemplo 6 si 0 1
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Leontief, la economía de Estados U
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☛ 7. ¿Cuáles son las produccion
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☛ 9. Una economía de dos sectore
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9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) Un
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☛ 10. ¿Las matrices siguientes s
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Hoy Primer día Segundo día Tercer
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EJEMPLO 4 (Predicción del tiempo)
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en lugar de [0.25 0.75]. En otras p
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Estado 1 Estado 2 Estado 1 0.6 0.4
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a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2
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Solución Desarrollando por el prim
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Una aplicación importante de los d
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Debe señalarse que la regla de Cra
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De manera similar, 11 1 2 3 A 11 (
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a) Determine la matriz insumo-produ
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TABLA 10 Industria Demandas Producc
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44. Tira un par de dados no cargado
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CAPÍTULO 10 Programación lineal C
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La gráfica de la desigualdad Ax B
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90y 30,000 165x 165 30,000 90y x
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☛ 4. ¿Cómo se modifican las des
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nen un costo no mayor de $1.00 y qu
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y 40 5x 3y 105 20 (12, 14) 2x 4y
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☛ 7. Utilice el método gráfico
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te evidente que la línea de utilid
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Consideremos un problema de program
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y 20% de nueces; mientras que la m
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y las ecuaciones lineales y t 1.5
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y 3 2 A x y 2.5 (v 0) B y 1.5 (
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☛ 13. Construya la tabla símplex
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0.3x 0.4y t u w 19.5 0.6x 0
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10-4 MÉTODO SÍMPLEX El procedimie
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Variable de salida u: Mediante un a
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x y t u y 0 1 2 7 1 7 2 x 1 0
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Paso 1 Definimos las variables de h
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EJEMPLO 3 Minimice C 10 x 2y suj
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CASO DE ESTUDIO PRODUCCIÓN ÓPTIMA
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11 CAPÍTULO CAPÍTULO La derivada
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q 1 500(150 p 1 ) 500(150 120)
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☛ 2. Calcule y para valores gener
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s(t) 16t 2 Determine la velocidad
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) t 3 y t 4 años c) t 3 y t 3
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TABLA 1 t s/t 0.5 0.25 0.1 0.01 0.0
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☛ 6. Después del ejemplo 1, eval
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☛ 7. Utilizando los teoremas 1 y
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☛ 9. Evalúe los siguientes lími
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EJERCICIOS 11-2 (1-30) Evalúe los
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La tasa de crecimiento promedio dur
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Deseamos tomar el límite cuando x
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☛ 14. En el ejemplo 4, encuentre
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DEMOSTRACIÓN a) En la función y
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Si n es un entero positivo, a n b
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59. (Móvil) La distancia recorrida
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El costo marginal mide la tasa con
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Ingreso y utilidad marginales Ahora
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La utilidad marginal es la derivada
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La razón S/I representa la fracci
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y 2 1 (2, 1) (4, 3) 1 y 0 1 2 3 4 x
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Recordemos la definición de contin
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☛ 25. (Más difícil) Utilizando
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☛ 27. (Más difícil) Demuestre q
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42. (Función de costo de la electr
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29. (p 3 3p)(p 2 1) 30. (p 3 )(
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t E(t) 6000 5 0 , para 1 t 50
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12-1 DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIE
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☛ 3. Utilice la regla del cocient
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Solución C(x) 0.003x 2 0.6x 40
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(x 31. f (x) 2 1)(2x 3) (t 3)(3
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de la función es la quinta potenci
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Para determinar du/dx escribimos u
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Sustituyendo x 5, el nivel de prod
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vertido K en planta y maquinaria. S
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Pero usando una propiedad básica d
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Por tanto, cuando se gastan $3000 e
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☛ 15. Derive a) y ln [(x 1) 2 ]
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55. y a x 56. y 3 x2 1 57. y log
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mecánica establece que cuando una
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C' (x) 17.5 10 0 50 100 150 x EJEMP
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Regla de cadena: Tasas relacionada
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CASO DE ESTUDIO PROPENSIÓN MARGINA
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CAPÍTULO 13 Optimización y bosque
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y y y f(x) y f(x) y y y y y y 0
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TABLA 1 ☛ 2. ¿Para qué valores
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31. (Análisis del ingreso marginal
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☛ 4. Proporcione los valores de x
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4 5 x3 (x 1) 1/5 [5(x 1) x] 4
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f existe para toda x, así los punt
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x 11. 2 12. x 2/3 x 1/3 33. f(x)
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☛ 9. Determine los intervalos en
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4000 C(x) 1 (150, 3162 ) 2 (100, 28
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Prueba de la segunda derivada En la
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☛ 13. Para cada una de las siguie
Page 568 and 569: ☛ 14. Determine los intervalos en
Page 570 and 571: En consecuencia, la gráfica es cre
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Page 574 and 575: La solución de problemas de optimi
Page 576 and 577: Una de las aplicaciones más import
Page 578 and 579: ☛ 19. Determine el valor de x que
Page 580 and 581: La utilidad máxima es P máx (20
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Page 588 and 589: La tapa cuesta (r 2 )(300) dólares
Page 590 and 591: 11. f(x) x ln x; e 1 x e 12. f(
Page 592 and 593: TABLA 8 x 1 10 100 1000 10,000 f(x
Page 594 and 595: Solución a) Tenemos que Por la reg
Page 596 and 597: ☛ 28. Para la función 1 y , det
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Page 602 and 603: Punto de inflexión. Prueba de la s
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Page 610 and 611: EJEMPLO 2 Si y x 3 3x, determine
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Page 614 and 615: ☛ 6. Vuelva a resolver el ejemplo
Page 616 and 617: Al usar esta técnica, derivamos ca
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Page 622 and 623: 35. ln (yz) y z 36. xe y ye x 1
Page 624 and 625: EJEMPLO 3 Calcule dy/dx si y (x 2
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Page 630 and 631: e las relaciones de demanda siguien
Page 632 and 633: para los cuales la demanda es a) el
Page 634 and 635: Por otro lado, considere los siguie
Page 636 and 637: 15-1 ANTIDERIVADAS ☛ 1. a) ¿Cuá
Page 638 and 639: Así, si se quiere integrar cualqui
Page 640 and 641: Precaución Las variables no pueden
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Page 648 and 649: Se sigue que 2x 3 dx u 1 2 du
Page 650 and 651: 4x 1 18. dx 2x2 x 1 19. xx 2
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Page 656 and 657: Solución Elijamos f(x) x y g(x)
Page 658 and 659: ☛ 16. Determine x 3 e x2 dx [Sug
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y y f (x ) A 0 a b x FIGURA 1 a x
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☛ 5. La función de ingreso margi
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y asimismo a b f(x) dx F(x) a b
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(1-26) Evalúe las siguientes integ
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F(a), o bien, b a g(x) dx [F(b) F
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☛ 8. Determine el área entre el
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y 0 2 1 1 2 x 2 y x 2 8 4 6 y x
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☛ 12. Haga un bosquejo del área
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13. y e x , y x 2 ; x 0, x 1 14
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L 2 1 x 1 5 1 x 2 x 0 16 1
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Maximización de la utilidad con re
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con este método, el valor presente
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p SC Curva de oferta p 0 SP Curva d
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espectivamente, en donde el tiempo
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Si f(x) 0 en el intervalo [a, b],
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fórmula T(t) 13 3t 1 3 6 t 2
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Es intuitivamente claro que tendrem
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TABLA 2 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3
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x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 b) La r
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DEFINICIÓN Se dice que una funció
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espondiendo a 1900. Suponga que est
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A A(t t) - A(t) rA(t) t en donde
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17. dy/dt 2y 0; y 1 cuando t 1
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podemos utilizar este método en ve
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te restringido, pero se han encontr
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ya que se da p k/m 0.25/m. Separa
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tinuos de un intervalo dado. Por ej
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1 y y f (x) 1 y (2x 3) 4 y f (x
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ya que e d/200 → 0 cuando d → q
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y y f (x ) x FIGURA 28 la curva c
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23. (Distribución uniforme) El pes
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2. Demuestre que ab 1 dt b 1 22.
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CASO DE ESTUDIO UN PROBLEMA DE INVE
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CAPÍTULO 17 Funciones de varias va
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☛ 1. Si f(x, y) ln (x y) x y
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D {(x, y, z)⏐x 2 y 2 9, x z
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☛ 4. Dibuje curvas de nivel para
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☛ 5. Para la función z x 2 - xy
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3. f(x, t) x t 1 x 2 ; (x, t)
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z f(x x, y) f(x, y) lím x x
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No necesitamos aplicar la fórmula
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☛ 8. Calcule z x , z xx y z xxy p
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46. (Microbiología) En el proceso
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las productividades marginales son
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☛ 12. Dos productos A y B tienen
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☛ 14. El ingreso, R, de una compa
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17-4 OPTIMIZACIÓN En el capítulo
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☛ 16. Sea f(x, y) (x y) 2 2(x
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Resolviendo estas dos ecuaciones, o
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por encima de 10°C y x es la canti
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Un método alternativo (que evita t
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Solución a) Aquí la función a ma
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☛ 20. Vuelva a resolver el ejempl
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19. (Inversiones) Una inversión de
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caigan sobre la línea recta, la l
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☛ 21. Determine la ecuación para
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TABLA 6 Precio (p) 2 2.25 2.50 2.75
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z f(x, y y) f(x, y) lím y y
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la producción de una empresa está
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CASO DE ESTUDIO DECISIÓN SOBRE PRO
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APÉNDICE I Tabla de derivadas est
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x2 1 2 11. dx (ax b) 2 a 3 a
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Integrales que contienen x 2 a 2
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Integrales diversas 1 1 79. dx
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TABLA A.3.1 Logaritmos comunes con
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TABLA A.3.2 Logaritmos naturales (c
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TABLA A.3.3 Funciones exponenciales
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
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Soluciones a problemas con número
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51. 125 minutos 23. u 1, v 3, w 5
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7. x 2 9. 1 2 3 x 2 4 11.
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f) Falso. Si A es una matriz de n
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27. 3 x2 4 2x3/2 29. 5p 4 6p 2
Page 816 and 817:
0.4 0.2 33. 3 3 4 pulgadas 3 3 4 p
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19. 1 9 x 2 8x 1 21. y′ x
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i) Falso; si todas las derivadas pa
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Bebidas y conducción de automóvil
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Determinante(s), 380 definición de
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decreciente, 530-534, 541, 551-555
Page 829 and 830:
Mano de obra, 743, 769 utilización
Page 831 and 832:
Programación lineal, 399-440 costo
Page 833:
maximización de la, con respecto a
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Matemáticas aplicadas

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