Matemáticas aplicadas

fórmula T(t) 13 3t 1
3
6
t 2 . (Donde t es el tiempo en
horas y t 0 corresponde a las 6 a.m.) Calcule la temperatura
promedio:
a) Entre las 6 A.M. y mediodía
b) Entre mediodía y las 6 P.M.
21. (Velocidad promedio) La velocidad de un objeto arrojado
verticalmente al aire está dado por V(t) 64 32t, donde
t es el tiempo en segundos. Calcule la velocidad promedio:
a) Durante el primer segundo
b) Entre t 1 y t 3
22. (Costo promedio y curva de aprendizaje) Una fábrica de
televisores encuentra que la curva de aprendizaje para una
línea de montaje es f(x) 20x 0.152 , donde f(x) es el número
de horas de trabajo necesarias para armar el aparato
número (x 1). Calcule el número promedio de horas de
trabajo en armar aparatos:
a) Durante los primeros 1000
b) De 3001 a 4000
23. (Presión promedio de la sangre) En el transcurso de la
reunión muy tensa de un comité, la presión sistolítica de
la sangre del presidente de la sesión aumentó de acuerdo
con la fórmula P(t) 140 4t 1 2 t 2 , donde t es el tiempo
en horas. Calcule la presión promedio de la sangre:
a) Durante la primera media hora
b) Durante la tercera hora
16-5 INTEGRACIÓN NUMÉRICA
(SECCIÓN OPCIONAL)
Considere la integral 1
1 x 4 dx. Como f(x) 1 x 4 es continua y no negativa
0
en el intervalo 0 x 1, esta integral representa el área bajo la curva y 1 x 4
entre x 0 y x 1. Pero no podemos encontrar la antiderivada de 1 x 4 por los
métodos estudiados en este libro. De hecho, esta antiderivada no puede expresarse
en términos de funciones elementales. En realidad, hay muchas de esas funciones
cuyas antiderivadas no pueden encontrarse por los métodos de integración conocidos.
Por ejemplo, otra función es f(x) e x2 /2
, la cual se usa frecuentemente en
estadística y cuya antiderivada no puede encontrarse en términos de funciones elementales.
En esos casos, no podemos usar el teorema fundamental del cálculo para
evaluar la integral definida. Pero existen métodos que nos permiten calcular valores
aproximados de cualquier integral definida y el proceso se conoce como integración
numérica. En esta sección describiremos dos de estos métodos para evaluar
aproximadamente la integral definida b
f(x) dx.
a
Regla del trapecio
Considere la integral b
f(x) dx. Para deducir la regla del trapecio, primero dividimos
el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, de longitud h cada uno, de mane-
a
ra que h (b a)/n. Los extremos de los subintervalos son a, a h, a 2h, a
3h,..., y denotamos los valores de f(x) en esos puntos por y 1
,y 2
, y 3
,...,y n + 1
, como
se muestra en la figura 22. En cada subintervalo, aproximamos el área bajo la
curva por el área del trapecio que consiste en la figura de cuatro lados con dos lados
verticales y cuyo lado superior se obtiene uniendo los dos puntos de la gráfica
correspondientes a los extremos del subintervalo. (Véase la figura 23). Entonces, el
área total bajo la curva desde x a a x b es aproximadamente igual a la suma de
las áreas de los n trapecios.
SECCIÓN 16-5 INTEGRACIÓN NUMÉRICA (SECCIÓN OPCIONAL) 683