Matemáticas aplicadas

☛ 7. ¿Cuáles son las
producciones si el pronóstico
de las demandas futuras se cambia
a 70 y 50 para P y Q,
respectivamente
Respuesta D
70
50
☛ 8. Los encabezados de la siguiente
tabla son los mismos que
los de la tabla 1.
20 40 40 100
80 80 40 200
0 80
100 200
X
69 2 0 9 0
70 2 0 9 0
Construya la matriz de insumoproducto
y encuentre las producciones,
si las demandas se cambian a
30 y 50, respectivamente.
del ejemplo anterior puede obtenerse directamente de la tabla 1 dividiendo cada número
en el rectángulo interior de la tabla entre la producción total de la industria que
encabeza la columna. Por ejemplo, en la primera columna, encabezada por P, dividimos
cada elemento entre 200, que es la producción total de la industria P. Así,
obtenemos
60 200 y 1 2 0
0 0 0
como los elementos de la primera columna de la matriz insumo-producto.
La ecuación (1), X AX D, se conoce como ecuación insumo-producto.
Para encontrar la matriz de producción X que cumplirá con las demandas finales
proyectadas, debemos resolver la ecuación (1) para X. Tenemos
Podemos escribir esto como
X AX D
X AX D
IX AX D o bien (I A)X D
Tenemos un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es (I A).
Podemos resolver este sistema por medio de la reducción por renglones o de forma
alterna utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. Suponga que (I A) 1
existe. Entonces, como en la sección 9-1, tenemos
(I A) 1 (I A)X (I A) 1 D
X (I A) 1 D
Por tanto, observamos que la matriz de producción X queda determinada una vez
que se encuentra la inversa de la matriz (I A). Esta inversa puede calcularse usando
los métodos de la sección 9-1.
En nuestro ejemplo, tenemos
I A
1 0
0.3 0.4
0.7 0.4
0 1 0.5 0.3
Empleando los métodos de la sección 9-1,
(I A) 1
1 70 40
29 50 70
0.5 0.7
En consecuencia,
X (I A) 1 D
1
29
73 2 0
70 40 70 9 0 251.7
50 70 60 265.5
77
2 0
9 0
Respuesta A
0.2 0.2
0.8 0.4
Producciones 87.5 y 200
Concluyendo, la industria P debe producir 251.7 unidades y Q debería producir
265.5 unidades con el objetivo de satisfacer las demandas finales proyectadas en 5
años. ☛ 7
Puede suceder que un economista no tenga seguridad acerca de sus pronósticos
de las demandas futuras finales. Así él o ella podría desear calcular la matriz de
producción X para diferentes matrices de demanda D. En tal caso, es mucho más
conveniente utilizar la fórmula X (I A) 1 D, que incluye la matriz inversa, que
utilizar la reducción por renglón para obtener X para cada D diferente. ☛ 8
SECCIÓN 9-2 ANÁLISIS INSUMO-PRODUCTO 365