Matemáticas aplicadas

8-4 SISTEMAS SINGULARES
Todos los sistemas de ecuaciones lineales que resolvimos en la última sección tenían
soluciones únicas. Existen sistemas de ecuaciones que tienen más de una solución
y otros sistemas que no tienen ninguna. Se dice que tales sistemas son singulares.
Consideremos el siguiente ejemplo.
EJEMPLO 1 Resuelva este sistema:
3x 3y 3z 34
3x 2y 4z 39
9x 3y 5z 30
☛ 16. Demuestre que el sistema
x 4y 3z 4,
3x 2y z 1,
x 6y 5z 7 tiene un número
infinito de soluciones. Exprese
a x y y en términos de z.
Solución Reducimos la matriz aumentada de este sistema de la siguiente manera:
1 1 1 4 R 2
3R 1 1 1 1 4
R
3
9R 1
3 2 4 9
0 5 7 3
⎯⎯⎯⎯⎯→
9 1 5
30
1 5 R 2
⎯⎯⎯→
0 10 14
6
1 1 1 4 R 1
R 2
0 1
0 1 7 R 7 3
10R 5 3 5
2
⎯⎯⎯⎯⎯→
5 3 5
1 0 2 5 1 5 7
0 10 14 6
0 0 0 0
x 2 z 5 1 5 7
(1)
y 7 z 5 3 5
Hasta ahora hemos obtenido las primeras dos columnas en la forma deseada. Sin
embargo, al mismo tiempo el tercer renglón sólo tiene ceros, de modo que no podemos
obtener un 1 en el tercer elemento de la tercera columna sin alterar la primera
y segunda columnas. Así que no podemos continuar el proceso de reducción entre
renglones aún más.
La matriz que obtuvimos corresponde a las siguientes ecuaciones:
La tercera ecuación es 0x 0y 0z 0, o 0 0, que es válida para todos los valores
de x, y y z por lo que podemos ignorarla. Advertimos, por consiguiente, que el
sistema dado de tres ecuaciones del sistema (1) puede resolverse para x y y en términos
de z.
x 1 5 7 2 z 5 1
5
(17 2z)
y 3 5 7 z 5 1
5
(3 7z)
(2)
Respuesta x 1 5 z 2 5 , y 4 5 z 1 1
1
0
La variable z es arbitraria y puede tomar cualquier valor. Por ejemplo, si z 1, entonces
x 1 5 (17 2) 3 y y 1 (3
5
7) 2. Así pues, x 3, y 2 y z 1 es
una solución. Cambiando los valores de z, obtenemos valores diferentes de x y y del
sistema (2) y, por consiguiente, distintas soluciones del sistema dado. Por ello, el
sistema tiene un número infinito de soluciones. La forma general de la solución es
x 1 5 (17 2z), y 1 5 (3 7z), z, en donde z es arbitraria. ☛ 16
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