Matemáticas aplicadas

Debe señalarse que esta notación sólo representa una convención, y que no
implica la existencia de lím (1/x) en el sentido ordinario de límite. No significa otra
x→0
cosa que si x se aproxima a cero por la derecha, la función 1/x crece sin cota alguna.
Cuando x se acerca a cero por la izquierda, los valores de 1/x se hacen cada
vez más grandes en la dirección negativa, como se ilustra en la tabla 10. Esto se denota
como
lím 1
x→0 x q
que indica que al aproximarse x a 0 por la izquierda, la función 1/x decrece sin cota
alguna.
TABLA 10
☛ 29. Determine lím f(x) y lím
x→c
x→c
f(x) para las siguientes funciones
con la c dada:
1
a) f(x) , c 0 x
2
x
b) f(x) , c 2
x 2
x
c) f(x) , c 2
x 2
x 2
d) f(x) , c 1
(1 x) 2
x 1 0.1 0.01 0.001
1
x
1 10 100 1000
La línea x 0 se denomina una asíntota vertical de la gráfica y 1/x. La
gráfica se aproxima a la asíntota vertical cada vez más, y se hace indefinidamente
grande, cuando x tiende a 0. Esto se asemeja con la línea y 0 (el eje x) que es una
asíntota horizontal de la gráfica. La asíntota horizontal se obtiene del límite cuando
x se aproxima a q: lím 1/x 0. La asíntota vertical se obtiene al variar x de modo
que y tienda a q. ☛
x→q
29
EJEMPLO 5 Determine las asíntotas horizontales y verticales de la función
y bosqueje su gráfica.
y 2 x 9
x 2
Solución Antes que todo, observamos que podemos dividir numerador y denominador
entre x y escribir
y 2 x
x
9
2
2 1
9/
x
→ 2 0
2 cuando x → q
2/
x 1 0
Respuesta a) q, q
b) q, q
c) q, q
d) q, q
Por tanto, la gráfica de la función dada se aproxima a la línea y 2 como su asíntota
horizontal tanto cuando x → q como si x → q.
El dominio de la función dada es el conjunto de todos los números reales excepto
x 2. Cuando x tiende a 2, el denominador x 2 tiende a cero y así y se hace
muy grande. La línea x 2 debe ser en consecuencia una asíntota vertical.
Para completar el bosquejo de la gráfica, debemos decidir en qué lados de las
asíntotas se encuentra la gráfica. Cuando x → 2 (x tiende a 2 por la derecha), el
factor 2x 9 del numerador se aproxima al límite 5. El denominador x 2 tiende
582 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS