Matemáticas aplicadas

☛ 15. Utilice el procedimiento
de reducción por renglones para
resolver los siguientes sistemas:
a) 2x 4y 2 0.
x 3y 3
b) q 3r 1;
2p 5r 1, 2p 2q 3r 1
Paso 1 Realizamos operaciones entre renglones con el objetivo de obtener
un elemento superior igual a 1 en la primera columna.
Paso 2 Sumamos o restamos los múltiplos apropiados del primer renglón a
los otros renglones, de modo que los elementos restantes de la primera columna
sean cero.
Paso 3 Sin alterar la primera columna, usamos operaciones entre renglones
con el propósito de hacer el segundo elemento de la segunda columna igual a 1.
Después sumamos o restamos múltiples adecuados del segundo renglón a los
otros con el propósito de obtener ceros en el resto de la segunda columna.
Paso 4 Sin alterar las primeras dos columnas, hacemos que el tercer elemento
de la tercera columna sea igual a 1. Luego usamos el tercer renglón con
la finalidad de obtener ceros en el resto de la tercera columna.
Paso 5 Continuamos el proceso columna por columna hasta que se obtenga
la forma reducida; esto es, hasta que la matriz adopte la forma I | C, con una matriz
identidad I a la izquierda de la línea vertical. Las soluciones de las variables
están dadas, entonces, por los elementos de la última columna, C. ☛ 15
EJEMPLO 3 (Punto de equilibrio del mercado) Dos productos A y B compiten.
Las demandas x A
y x B
de estos productos están relacionadas con sus precios P A
y P B
por las ecuaciones de demanda
x A
17 2P A
1 2 P B
y x B
20 3P B
1 2 P A
Las ecuaciones de la oferta son
P A
2 x A
1 3 x B
y P B
2 1 2 x B
1 4 x A
que dan los precios a los cuales las cantidades x A
y x B
estarán disponibles en el mercado.
En el punto de equilibrio del mercado, las cuatro ecuaciones deben satisfacerse
(dado que la demanda y la oferta deben ser iguales). Calcule los valores de equilibrio
de x A
,x B
,P A
y P B
.
Solución Reacomodando las cuatro ecuaciones, obtenemos el siguiente sistema:
x A
2P A
1 2 P B
17
x B
1 2 P A
3P B
20
x A
1 3 x B
P A
1 4 x A
1 2 x B
2
P B
2
Note que las variables en cada ecuación se pusieron en el orden x A
, x B
,P A
y P B
.La
matriz aumentada es la siguiente:
Respuesta a) x 3, y 2
b) p 2, q 4, r 1
1 0 2 1 2 17
0 1 1 2 3 20
1 1 3 1 0 2
1 4 1 2 0 1
2
340 CAPÍTULO 8 ÁLGEBRA DE MATRICES