Matemáticas aplicadas

☛ 9. Establezca las sustitución
y evalúe la integral en cada uno
de los siguientes casos:
2x
a) dx x
2
2
1
b) dx c) xe x2 dx
xln x
Obsérvese que hemos separado el integrando de tal manera que la expresión (1/x)
dx ocurre como un factor distinto. Ésta es la diferencial de ln x, y más aún, el resto
del integrando también es una función simple de ln x. De modo que hacemos ln x
u. Se sigue que (1/x) dx du. La integral dada se reduce ahora a
1
1
dx 1 x dx 1 x ln x ln x
u
du ln ⏐u⏐ C
después de sustituir u ln x
ln ⏐ln x⏐ C
A partir de estos ejemplos observamos que la técnica apropiada al utilizar el
método de sustitución consiste en buscar una función u g(x) con una diferencial
g′(x) dx que aparezca en la integral original. El resto del integrando debe ser una
función simple de u. La elección de la sustitución no es del todo obvia, pero pronto
aprenderemos por experiencia cómo reconocer la correcta.
EJEMPLO 3 Evalúe e x 2 5x
(2x 5) dx
Solución Observemos que (2x 5) dx aparece en la integral y esta cantidad es la
diferencial de x 2 5x. En consecuencia, hacemos u x 2 5x. Luego, du
(2x 5) dx y la integral se transforma en
e x 2 5x
(2x 5) dx e u du e u C e x 2 5x
C
Algunas veces, la diferencial exacta apropiada no aparece en la integral misma,
sino que la función debe multiplicarse o dividirse por cierta constante. Esto se
ilustra en los siguientes ejemplos.
EJEMPLO 4 Calcule x 2 e x3 +1
dx
Solución La derivada de x 3 1 es 3x 2 . Puesto que la expresión x 2 dx aparecen en
el integrando, esto nos sugiere hacer u x 3 1. Luego, du 3x 2 dx, y así x 2 dx
1 3 du. Así,
x 2 e x 3 1
dx e u ( 1 3 du) 1 3 eu du 1 3 eu C 1 3 ex 3 1
C ☛ 9
Respuesta
a) ln⏐x 2 2⏐ C (u x 2 2)
b) 2ln x C (u ln x)
c) 1 2 e x2 C (u x 2 )
EJEMPLO 5 Encuentre 2x 3 dx
Solución Escribiendo u 2x 3, encontramos que du 2dx, esto es, dx 1 2 du
632 CAPÍTULO 15 INTEGRACIÓN