Matemáticas aplicadas

☛ 12. Resuelva la ecuación:
x 2 – 3x 1 0
Respuesta x 1 2 (3 5)
En consecuencia, las raíces son 1 (1 17) 1.281 y 4 1 (1 17) 0.781.*
4
☛ 12
EJEMPLO 5 Resuelva la ecuación x 4 – 3x 2 – 7 0
Solución Como aparece, esta ecuación no es una ecuación cuadrática. Sin embargo,
si hacemos x 2 z, obtenemos
z 2 – 3z – 7 0
que es una ecuación cuadrática para z. De la fórmula cuadrática tenemos las soluciones
(3) (3)
z
2 4(1)(7) 3 37
2 1
2
Éstas son z 4.54 y z 1.54. Pero, como z x 2 , entonces z no puede ser negativa,
de modo que sólo aplica la primera de estas raíces. Tomando su raíz cuadrada,
entonces
☛ 13. Resuelva las ecuaciones:
a) x 6 – 7x 3 – 8 0
b) x 4 – 7x 2 – 8 0
1
x
( 3 3 7 ) 2
4.54 2.13 ☛ 13
Completar el cuadrado
El tercer método de resolver ecuaciones cuadráticas se denomina completar el cuadrado.
La propiedad subyacente de los números reales es la siguiente:
Propiedad de la raíz cuadrada:
Si X 2 A, donde A 0, entonces X A
Por ejemplo, si X 2 3, entonces X 3 1.73 o X 3 1.73. El
objetivo de este método es escribir la ecuación cuadrática en la forma X 2 A, donde
A es algún número y X es una expresión lineal que incluye la variable x. Explicaremos
este método por medio de la siguiente ecuación cuadrática particular
Escribamos esta ecuación en la forma equivalente:
x 2 6x 7 0 (2)
x 2 6x 7 (3)
Respuesta a) x 2o –1
b) x 8
De la identidad del cuadrado de un binomio tenemos
(x 3) 2 x 2 2 x 3 3 2 x 2 6x 9 (4)
Comparando el lado derecho de la ecuación (4) con el izquierdo de la ecuación (3),
notamos que sólo difieren por la constante 9. De esta manera, si sumamos 9 a ambos
miembros de la ecuación (3),
x 2 6x 9 7 9 16
SECCIÓN 2-3 ECUACIONES CUADRÁTICAS 77