Matemáticas aplicadas

ya que se da p k/m 0.25/m. Separando las variables, obtenemos
m
y(m y)
dy 0.25 dt
y procediendo para integrar ambos lados utilizando fracciones parciales en el lado
izquierdo, como lo hicimos anteriormente, llegamos al resultado
y
m y
ln 0.25t C (i)
En este problema, y 0 y y m, así que el argumento del logaritmo es positivo y
no requerimos de signos de valor absoluto. En t 0, el tamaño inicial es y 0.01m
y la sustitución de estos valores permite que C se determine:
0.01m
ln 0.25(0) C
m 0.01m
o C ln 99. Sustituyendo este valor de C en (i) y combinando los logaritmos, podemos
escribir la solución como
99y
ln 0.25t
m y
La primera parte de la pregunta puede responderse de manera directa a partir de
esta ecuación. La población alcanza 90% de su tamaño máximo cuando y 0.9m,
y obtenemos
99(0.9m)
0.25t ln ln 891
m 0.9m
De aquí, t 4 ln 891 27.2. Así que toma 27.2 meses para que la población se recupere
al 90% de su valor máximo.
Para completar la solución para y, la escribimos como
99y
m y
e 0.25t
y entonces de ésta despejamos a y. El resultado es
y
m
1 99e
0.25t
EJERCICIOS 16-7
(1-10) Determine la solución general de las siguientes ecuaciones
diferenciales.
1. dy/dx xy 2. dy/dx x xy
3. dy/dt 2ty 2 0 4. dy/dt e ty
5. dy/dt 3t 2 e y 6. dy/dt 6t 2 y 0
7. dy/dt y(y 1) 8. dy/dt y 2 4
9. tdy/dt ty y 10. t dy/dt ty 2y
(11-18) Determine las soluciones de las siguientes ecuaciones
diferenciales que satisfagan las condiciones iniciales dadas.
11. dy/dx 2xy y 1 cuando x 0
SECCIÓN 16-7 ECUACIONES DIFERENCIALES SEPARABLES 703