Matemáticas aplicadas

y
y
L
L
0
x
0
x
FIGURA 34
Solución En primer término, seguimos los pasos descritos en la sección 13-2.
Paso 1 Tenemos las siguientes igualdades:
f(x) e x2
f(x) 2xe x2
(por la regla de la cadena)
El factor e x2 nunca es cero, de modo que f(x) 0 sólo cuando x 0. En este valor
y e 0 l; es decir, la gráfica tiene una tangente horizontal en el punto (0, 1) al
mismo tiempo que corta al eje y.
Puesto que e x2 siempre es positivo, advertimos que cuando x 0, f(x) 0,
de modo que la gráfica es creciente si x 0. Por otro lado, cuando x 0, f(x)
0 y la gráfica decrece.
Paso 2 Usamos la regla del producto y derivamos por segunda vez:
d
f(x) 2 (xe x2 ) 2(2x 2 1)e x2
d x
Los puntos de inflexión, en donde f(x) 0, están dados por 2x 2 1 0, esto es,
x 1/2.
Los valores correspondientes de y son y e ( 1/ 2
)2 e 0.5 . De modo que
los puntos de inflexión son (1/2, e 0.5 ) (0.71, 0.61). La segunda derivada
cambia de signo en estos puntos de inflexión. El factor e x2 siempre es positivo, por
lo que el signo de f(x) es el mismo que el de 2x 2 l. Cuando x 1/2, x 2
1 2 de modo que 2x2 1 0. Así que, f(x) 0 en esta región y la gráfica es cóncava
hacia arriba. Si 1/2 x 1/2, x 2 1 , 2 de modo que 2x2 1 0. En
consecuencia, f(x) 0 en esta región y la gráfica es cóncava hacia abajo. Por último,
cuando x 1/2, x 2 1 2 y 2x2 1 0. Así que, de nuevo f(x) 0 y la
gráfica es cóncava hacia arriba.
Paso 3 Ya habíamos encontrado el punto (0, 1) en donde la gráfica corta al
eje y. La gráfica nunca corta al eje x porque e x2 siempre es positivo.
Paso 4 Ahora un nuevo paso: examinemos el comportamiento cuando x →
q. En cualquiera de los dos casos, el exponente x 2 se hace indefinidamente
grande y negativo. Por consiguiente, e x 2
se acerca cada vez más a cero. De modo
que la gráfica tiene al eje x (y 0) como asíntota horizontal tanto si x → q como
si x → q.
580 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS