Matemáticas aplicadas

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y 40 5x 3y 105 20 (12, 14) 2x 4y 70 0 20 40 x FIGURA 7 Consideremos ahora el conjunto de valores de x y y que conducen a alguna utilidad fija. Por ejemplo, dando a P el valor 4000, advertimos que x y y deben satisfacer la ecuación 200x 160y 4000 (2) Todos los valores de x y y que satisfacen esta ecuación producen una utilidad de $4000 a la semana. Ésta es la ecuación de una línea recta que corta el eje x en el punto (20, 0) y el eje y en el punto (0, 25), como se aprecia en la figura 8. Parte de esta línea pasa por la región de soluciones factibles. Debido a esto, concluimos que le es posible a la empresa lograr una utilidad de 4000 dólares a la semana. Puede realizar esto eligiendo cualquier valor de (x, y) situado sobre el segmento AB que aparece en la figura 8. y 40 200x 160y 6000 20 A 200x 160y 4000 B 0 20 40 x FIGURA 8 SECCIÓN 10-2 OPTIMIZACIÓN LINEAL (ENFOQUE GEOMÉTRICO) 409
☛ 6. En las figuras 7 u 8, dibuje las rectas de indiferencia que correspondan a una utilidad de $3000 y $5000 semanales. ¿Estos niveles de utilidad son factibles Por otra parte, consideremos P 6000. Los valores correspondientes de x y y deben satisfacer 200x 160y 6000, que otra vez es la ecuación de una línea recta, esta vez corta los ejes de coordenadas en los puntos (30, 0) y (0, 37.5). Esta línea recta no pasa por la región sombreada de soluciones factibles (véase la figura 8) y, por ello, no le es posible a la empresa obtener una utilidad tan grande como $6000 a la semana. La utilidad máxima posible debe estar en algún lugar entre $4000 y $6000 a la semana. El conjunto de puntos (x, y) que conducen a una utilidad dada P satisfacen la ecuación 200x 160y P. Esta ecuación, para P fija, tiene como gráfica una línea recta en el plano xy llamada línea de utilidad constante o recta de indiferencia. Las dos líneas que aparecen en la figura 8 son líneas de utilidad constante que corresponden a los valores P 4000 y P 6000. ☛ 6 La ecuación de una línea de utilidad constante puede escribirse en la forma 160y P 200x o bien y 5 4 x P 160 Por tanto, la línea tiene pendiente 5 4 y ordenada al origen P/160. Es una propiedad importante que la pendiente de cualquier línea de utilidad constante sea la misma sin importar el valor de P. Esto significa que todas las líneas de utilidad constante son paralelas entre sí. A medida que el valor de P se incrementa, la línea de utilidad máxima correspondiente se aparta del origen (la ordenada al origen aumenta), siempre con la misma pendiente. Para obtener la utilidad máxima, debemos alejar la línea de utilidad constante, del origen hasta que sólo toque el extremo de la región de soluciones factibles. Es claro por la figura 9 que la línea de utilidad máxima es la que pasa por la esquina C situada en la frontera de la solución factible. Los valores de x y y en C dan los volúmenes de producción de los dos productos X y Y que conducen a la utilidad máxima. 40 y P 6000 Respuesta $3000 es factible, pero la recta de $5000 no interseca la región factible. y 20 P 4000 40 P 5000 C 20 P 3000 0 20 40 x 20 40 x FIGURA 9 410 CAPÍTULO 10 PROGRAMACIÓN LINEAL
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QUINTA EDICIÓN Matemáticas aplica
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ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W
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Contenido PREFACIO xi PARTE UNO ÁL
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PARTE DOS MATEMÁTICAS FINITAS 7 PR
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Repaso del capítulo 14 615 Problem
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• Prácticamente todos los ejerci
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CAPÍTULO 1 Álgebra Álgebra y alg
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☛ 1. ¿Qué tipo de número es ca
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La segunda forma de la propiedad di
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☛ 3. ¿Cuáles propiedades de los
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☛ 4. ¿Están definidas las expre
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EJEMPLO 2 a) 3 5 7 9 3 5
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☛ 8. En cada caso, ¿cuál es mí
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Por tanto la expresión dada es igu
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TEOREMA 6 a c b c a b (c 0)
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Esto sugiere que la tabla se comple
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En una expresión, tal como 3c 5 ,
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33. (x 2 y) 3 34. (a b 2 ) 1 49.
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DEFINICIÓN Sea n un enero positivo
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3 9 EJEMPLO 6 Encuentre m tal que
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x3 35. x /7 1/7 y2/ 5 y1/ 5 36.
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Reagrupando los términos, de tal m
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18x 3 15x 2 6x 18x 3 15x 2 6x (3x
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Esta propiedad es útil cuando divi
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☛ 25. Verifique si es correcta la
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☛ 26. Saque todos lo factores com
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EJEMPLO 3 Factorice ax 2 by 2 bx
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Solución a) La factorización de x
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Con el propósito de que una expres
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) Multiplicamos por x 2 5: ☛ 34.
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EJERCICIOS 1-7 (1-40) En las expres
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REPASO DEL CAPÍTULO 1 Resumen 1.1
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33. 64 f 3 1 41. 10t 2 13tu 3u 2
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CAPÍTULO Ecuaciones de una variabl
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Así, por ejemplo, 5 es una raíz d
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lo cual concuerda con la ecuación
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EJEMPLO 4 Solución Resuelva la ecu
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EJERCICIOS 2-1 (1-10) Compruebe si
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Paso 2 Luego, el segundo entero es
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☛ 8. ¿Cuál es el interés anual
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17. (Inversión) Una persona invirt
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Observemos que el punto crucial del
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☛ 12. Resuelva la ecuación: x 2
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Terminamos esta sección deduciendo
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41. 7x 3(x 2 5) x 3 42. 2x(4x
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a una renta de $180 mensuales. A un
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Solución Al final del primer año,
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c) Determine la altura máxima que
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16. 21x 30 45x 26 17. 32x 8 x *
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CAPÍTULO 3 Desigualdades ¿Comprar
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Por una colección bien definida, e
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☛ 3. ¿Las siguientes proposicion
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Usamos los símbolos q (infinito) y
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EJEMPLO 1 a) 3 x 2x 4 es una desi
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Pero, dado que (a c) (b c) es po
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Solución En este caso, como x apar
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mano de obra. Determine el número
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3/2 0 4 FIGURA 8 quier punto en cad
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Solución El ingreso I (en dólares
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lar de incremento en el precio, las
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establece que la distancia entre x
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Solución Utilizando la proposició
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(37-38) Exprese las siguientes afir
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42. ⏐2x⏐ ⏐x⏐ 12 *43. ⏐x
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CAPÍTULO 4 Líneas rectas El probl
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☛ 1. Grafique los puntos (4, 0),
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y (0, y 2 ) B Q (x 2 , y 2 ) (0, y
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face cuando sustituimos x 1 y y 1.
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TABLA 3 q 0 1 2 3 p 10 7 4 1 Grafic
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Observemos que la elevación es igu
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A través de cualquier punto, hay p
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Enseguida, supóngase que la línea
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☛ 9. Determine la pendiente y la
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Esto se ilustra en la figura 17. De
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Haciendo x 0 en la ecuación (2),
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☛ 14. Una compañía está utiliz
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(20, 25) y (30, 20). La pendiente d
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cienden a 2000 televisores al mes.
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DEFINICIÓN Un sistema de ecuacione
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Solución La primera etapa consiste
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líneas, y de aquí, dan una soluci
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Solución En este sistema, una de l
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Ahora tenemos que resolver dos ecua
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por las ventas, no hay utilidad ni
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elación lineal como una representa
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☛ 25. Si la ley de la demanda es
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EJEMPLO 7 (Subsidio y punto de equi
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(9-14) (Equilibrio del mercado) Det
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6. Pasa por los puntos (0, 0) y (7,
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CASO DE ESTUDIO EL PROBLEMA DE LA S
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5-1 FUNCIONES ☛ 1. ¿Lo siguiente
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Por tanto, g(1) g(h) 6 3h 2 2h
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☛ 4. Grafique las funciones y 4
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les x para los cuales f (x) es un n
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En los ejemplos anteriores, hemos e
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Una función f definida por la rela
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(19-24) Evalúe [ f (x h) f (x)]/
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65. De un hoja rectangular de 20 1
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Solución Comparando la ecuación y
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☛ 14. En el ejemplo 3, exprese la
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) El ingreso I obtenido por vender
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☛ 17. Dibuje las gráficas de f (
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☛ 18. Determine la ecuación del
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Algunas veces sucede que una empres
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Funciones valor absoluto Si x es un
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Solución Para 3 x 0, esto es, pa
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tintas al tiempo t; ahora, el ingre
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) g(4) 4 2. Tenemos (f ° g)(4)
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3q 600. Como una función de la ca
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La ecuación (1) podría pensarse t
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☛ 28. Dada f (x) como sigue, encu
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13. xy 2 (x 2 1)y x 0 14. y 2
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32. (Función de costo) El costo po
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CAPÍTULO 6 Logaritmos y exponencia
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EJEMPLO 1 (Inversiones) Una suma de
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Para la segunda, i 0.0305 y k 4,
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☛ 6. Suponga que $1 se invierte a
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EJEMPLO 8 (Inversión) Una inversi
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EJERCICIOS 6-1 (1-2) Si $2000 se in
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6-2 FUNCIONES EXPONENCIALES Conside
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5 y y = 3 x 1 y = ( ) 3 x 4 3 y =
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☛ 11. Utilizando los valores tabu
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35. Durante el otoño, en promedio
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Al igual que con cualquier función
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Los logaritmos tienen las cuatro pr
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) En la base de la tabla, encontram
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Logaritmos comunes En algún tiempo
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(23-28) Dado que log 5 0.6990 y lo
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Por tanto, log 2.5 0.3979 n (de
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) e (1.609)t ; c) e [ln (1i )]t P
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☛ 29. Exprese lo siguiente en té
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y y m y 0 0 t Por tanto, y se hace
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Tomando logaritmos naturales de amb
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tamaño de la población después d
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h) l n a5 ln a ln a3 2 1 i) log
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Calcule el porcentaje de la muestra
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CAPÍTULO 7 Progresiones y matemát
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El n-ésimo término está dado por
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Si la inversión es a interés simp
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☛ 7. Una PA tiene segundo términ
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* 28. (Descuento simple) La señori
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16 243 a r8 ar3 1 2 r 5 1
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S n a( 1 r n ) 1 r Esto prueba
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☛ 13. El decimal recurrente 0.515
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Planes de ahorro El tipo más simpl
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☛ 15. Utilizando la tabla A.3.4 e
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En consecuencia, la ecuación (1) t
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24. (Plan de ahorro) El señor Lóp
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que describen un proceso que evoluc
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y se satisface la ecuación en dife
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TABLA 4 n 0 1 2 3 4 5 6 7 Año 1991
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Por lo regular, esta ecuación en d
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Ahora, el préstamo inicial (que es
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a) Determine la ecuación en difere
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☛ 30. En el ejemplo 1, evalúe a)
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TEOREMA 2 a) n k1 b) n k1 c) n k
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☛ 32. Evalúe a) 20 (j 1) 2 j1
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 7
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CASO DE ESTUDIO ¿CÓMO SALVAR EL H
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8-1 MATRICES Una empresa produce cu
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Una matriz con el mismo número de
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Respuesta Calculamos la matriz de v
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a) Escriba una matriz que represent
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En consecuencia, en detalle, ☛ 8.
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Por consiguiente, AI IA A. Advert
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Definimos la matriz A m n cuyos el
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36. Dé un ejemplo de dos matrices
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2y 2. Sumando esto a la primera ec
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☛ 13. Escriba la matriz aumentada
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Usemos ahora el segundo renglón pa
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Para la primera columna aplicamos l
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8-4 SISTEMAS SINGULARES Todos los s
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Al igual que en el ejemplo 1, obtuv
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Solución La matriz aumentada es P
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PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 8
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*32. Daniela es la gerente de una c
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Por tanto, para el segundo año: C(
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9-1 LA INVERSA DE UNA MATRIZ DEFINI
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o bien, Por consiguiente, a 3c b
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Deseamos tomar el límite cuando x
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DEMOSTRACIÓN a) En la función y
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59. (Móvil) La distancia recorrida
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El costo marginal mide la tasa con
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Ingreso y utilidad marginales Ahora
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La utilidad marginal es la derivada
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La razón S/I representa la fracci
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y 2 1 (2, 1) (4, 3) 1 y 0 1 2 3 4 x
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Recordemos la definición de contin
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☛ 25. (Más difícil) Utilizando
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42. (Función de costo de la electr
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t E(t) 6000 5 0 , para 1 t 50
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12-1 DERIVADAS DE PRODUCTOS Y COCIE
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☛ 3. Utilice la regla del cocient
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Solución C(x) 0.003x 2 0.6x 40
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(x 31. f (x) 2 1)(2x 3) (t 3)(3
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de la función es la quinta potenci
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Para determinar du/dx escribimos u
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Sustituyendo x 5, el nivel de prod
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vertido K en planta y maquinaria. S
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Pero usando una propiedad básica d
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Por tanto, cuando se gastan $3000 e
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☛ 15. Derive a) y ln [(x 1) 2 ]
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55. y a x 56. y 3 x2 1 57. y log
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mecánica establece que cuando una
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C' (x) 17.5 10 0 50 100 150 x EJEMP
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Regla de cadena: Tasas relacionada
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CASO DE ESTUDIO PROPENSIÓN MARGINA
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CAPÍTULO 13 Optimización y bosque
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y y y f(x) y f(x) y y y y y y 0
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TABLA 1 ☛ 2. ¿Para qué valores
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31. (Análisis del ingreso marginal
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☛ 4. Proporcione los valores de x
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4 5 x3 (x 1) 1/5 [5(x 1) x] 4
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f existe para toda x, así los punt
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x 11. 2 12. x 2/3 x 1/3 33. f(x)
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☛ 9. Determine los intervalos en
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4000 C(x) 1 (150, 3162 ) 2 (100, 28
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Prueba de la segunda derivada En la
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☛ 13. Para cada una de las siguie
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☛ 14. Determine los intervalos en
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En consecuencia, la gráfica es cre
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EJERCICIOS 13-4 (1-12) Bosqueje las
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La solución de problemas de optimi
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Una de las aplicaciones más import
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☛ 19. Determine el valor de x que
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La utilidad máxima es P máx (20
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da vez, los costos de almacenamient
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31. (Modelo de costo de inventarios
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13-6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
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La tapa cuesta (r 2 )(300) dólares
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11. f(x) x ln x; e 1 x e 12. f(
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TABLA 8 x 1 10 100 1000 10,000 f(x
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Solución a) Tenemos que Por la reg
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☛ 28. Para la función 1 y , det
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a cero a través de valores positiv
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EJERCICIOS 13-7 (1-36) Evalúe, si
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Punto de inflexión. Prueba de la s
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Determine la tasa de producción x
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CASO DE ESTUDIO OPTIMIZACIÓN DE CO
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CAPÍTULO 14 Más sobre derivadas C
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EJEMPLO 2 Si y x 3 3x, determine
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☛ 3. Haciendo elecciones apropiad
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☛ 6. Vuelva a resolver el ejemplo
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Al usar esta técnica, derivamos ca
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La ecuación de la línea tangente
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☛ 11. Determine los puntos en la
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35. ln (yz) y z 36. xe y ye x 1
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EJEMPLO 3 Calcule dy/dx si y (x 2
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p x dx pf(p) dp f(p) Antes de
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La idea de elasticidad puede aplica
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e las relaciones de demanda siguien
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para los cuales la demanda es a) el
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Por otro lado, considere los siguie
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15-1 ANTIDERIVADAS ☛ 1. a) ¿Cuá
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Así, si se quiere integrar cualqui
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Precaución Las variables no pueden
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☛ 7. Determine la función de cos
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67. (Costo marginal) La función de
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☛ 8. Establezca los resultados qu
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Se sigue que 2x 3 dx u 1 2 du
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4x 1 18. dx 2x2 x 1 19. xx 2
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☛ 11. Utilice la tabla para encon
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☛ 13. Utilice una sustitución y
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Solución Elijamos f(x) x y g(x)
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☛ 16. Determine x 3 e x2 dx [Sug
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Integración por partes: f(x)g(x)
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2x) 1/2 . Determine la productivida
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U′(34.15) 0 A la izquierda de es
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16-1 ÁREAS BAJO CURVAS En esta sec
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y y f (x ) A 0 a b x FIGURA 1 a x
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☛ 5. La función de ingreso margi
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y asimismo a b f(x) dx F(x) a b
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(1-26) Evalúe las siguientes integ
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F(a), o bien, b a g(x) dx [F(b) F
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☛ 8. Determine el área entre el
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y 0 2 1 1 2 x 2 y x 2 8 4 6 y x
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☛ 12. Haga un bosquejo del área
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13. y e x , y x 2 ; x 0, x 1 14
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L 2 1 x 1 5 1 x 2 x 0 16 1
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Maximización de la utilidad con re
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con este método, el valor presente
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p SC Curva de oferta p 0 SP Curva d
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espectivamente, en donde el tiempo
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Si f(x) 0 en el intervalo [a, b],
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fórmula T(t) 13 3t 1 3 6 t 2
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Es intuitivamente claro que tendrem
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TABLA 2 x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 3
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x 0 10 20 30 40 50 60 70 80 b) La r
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DEFINICIÓN Se dice que una funció
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espondiendo a 1900. Suponga que est
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A A(t t) - A(t) rA(t) t en donde
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17. dy/dt 2y 0; y 1 cuando t 1
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podemos utilizar este método en ve
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te restringido, pero se han encontr
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ya que se da p k/m 0.25/m. Separa
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tinuos de un intervalo dado. Por ej
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1 y y f (x) 1 y (2x 3) 4 y f (x
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ya que e d/200 → 0 cuando d → q
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y y f (x ) x FIGURA 28 la curva c
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23. (Distribución uniforme) El pes
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2. Demuestre que ab 1 dt b 1 22.
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CASO DE ESTUDIO UN PROBLEMA DE INVE
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CAPÍTULO 17 Funciones de varias va
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☛ 1. Si f(x, y) ln (x y) x y
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D {(x, y, z)⏐x 2 y 2 9, x z
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☛ 4. Dibuje curvas de nivel para
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☛ 5. Para la función z x 2 - xy
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3. f(x, t) x t 1 x 2 ; (x, t)
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z f(x x, y) f(x, y) lím x x
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No necesitamos aplicar la fórmula
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☛ 8. Calcule z x , z xx y z xxy p
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46. (Microbiología) En el proceso
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las productividades marginales son
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☛ 12. Dos productos A y B tienen
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☛ 14. El ingreso, R, de una compa
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17-4 OPTIMIZACIÓN En el capítulo
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☛ 16. Sea f(x, y) (x y) 2 2(x
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Resolviendo estas dos ecuaciones, o
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por encima de 10°C y x es la canti
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Un método alternativo (que evita t
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Solución a) Aquí la función a ma
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☛ 20. Vuelva a resolver el ejempl
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19. (Inversiones) Una inversión de
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caigan sobre la línea recta, la l
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☛ 21. Determine la ecuación para
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TABLA 6 Precio (p) 2 2.25 2.50 2.75
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z f(x, y y) f(x, y) lím y y
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la producción de una empresa está
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CASO DE ESTUDIO DECISIÓN SOBRE PRO
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APÉNDICE I Tabla de derivadas est
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x2 1 2 11. dx (ax b) 2 a 3 a
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Integrales que contienen x 2 a 2
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Integrales diversas 1 1 79. dx
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TABLA A.3.1 Logaritmos comunes con
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TABLA A.3.2 Logaritmos naturales (c
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TABLA A.3.3 Funciones exponenciales
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
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TABLA A.3.4 Tablas de interés comp
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Soluciones a problemas con número
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51. 125 minutos 23. u 1, v 3, w 5
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7. x 2 9. 1 2 3 x 2 4 11.
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f) Falso. Si A es una matriz de n
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27. 3 x2 4 2x3/2 29. 5p 4 6p 2
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0.4 0.2 33. 3 3 4 pulgadas 3 3 4 p
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19. 1 9 x 2 8x 1 21. y′ x
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i) Falso; si todas las derivadas pa
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Bebidas y conducción de automóvil
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Determinante(s), 380 definición de
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decreciente, 530-534, 541, 551-555
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Mano de obra, 743, 769 utilización
Page 831 and 832:
Programación lineal, 399-440 costo
Page 833:
maximización de la, con respecto a
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Matemáticas aplicadas

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