Matemáticas aplicadas

Una segunda distribución de probabilidad que tiene múltiples aplicaciones es
la denominada distribución exponencial y la f.d.p. en este caso es
f(x)
1 k e x/k para 0 x q
0 en cualquier otra parte
en donde k es cierta constante positiva. Es claro que, f(x) 0 y
☛ 34. ¿Para qué valor de A es
Ax
f(x) una función de
(1 x2 ) 2
densidad de probabilidad en el
intervalo 0 x q Evalúe
P(0 x 2)
q
0
f(x) dx lím b
1
b→q 0 k ex/k dx lím b ex/k lím (e b/k e 0 ) 1
b→q 0 b→q
debido a que e b/k → 0 cuando b → q y e 0 1. Así que f(x), tal como se definió,
satisface las dos condiciones requeridas por una función de densidad. La gráfica de
una función de densidad típica aparece en la gráfica 27. ☛ 34
y
1/b
y f (x ) 1 ex
/b
b
x
FIGURA 27
EJEMPLO 3 (Vida útil de focos incandescentes) El tiempo de vida útil de cierto tipo
de focos incandescentes (en horas) obedece una distribución exponencial cuya
función de densidad está dada por
1
f(x) e x/200 0 x q
200
Determine la probabilidad de que un foco incandescente aleatoriamente seleccionado
dure: a) más de 100 horas pero menos de 300 horas; b) más de 200 horas.
Solución Si X denota la vida útil de un foco aleatoriamente seleccionado, se sigue
que la probabilidad de que la vida útil esté entre los dos valores dados c y d es
P(c X d) d
f(x) dx d 1
e x/200 dx
c
c 200
1
200
200ex/200 d c
e c/200 e d/200
Respuesta A 2
P(0 x 2) 4 5
a) Haciendo c 100 y d 300, obtenemos
P(100 X 300) e 100/200 e 300/200 e 1/2 e 3/2 0.38
b) Tomando c 200 y haciendo que d → q, resulta que
708 CAPÍTULO 16 LA INTEGRAL DEFINIDA