Matemáticas aplicadas

Solución Deseamos encontrar el valor de t que satisfaga:
(0.3)(0.5) t 0.08
Esto es,
(0.5) t 0 .08
0.267
0.3
Tomando logaritmos, obtenemos
log (0.5) t t log (0.5) log (0.267)
de modo que
☛ 26. En el ejemplo 3, si el
límite legal fuera 0.05 en vez de
0.08, ¿cuánto tiempo tardaría en
estar legalmente apto para
conducir
t lo g (0.
log
(
267)
0.
5)
( 0.
5735)
( (de la tabla A.3.1)
0.
3010)
1.91
Por tanto, le lleva 1.91 horas alcanzar la aptitud legal para conducir. ☛ 26
En el ejemplo 9 de la sección 6-1 mostramos cómo calcular una tasa efectiva anual
dada la tasa nominal. Si deseamos dar el paso de regreso, para composición continua,
necesitamos logaritmos.
EJEMPLO 4 (Inversión) Cuando la composición se hace de manera continua, ¿qué
tasa nominal de interés da el mismo crecimiento en un año completo que una tasa
de interés anual del 10%
Solución Una suma P invertida a una tasa nominal de interés de R por ciento compuesto
continuamente tiene un valor Pe i después de un año, con i R/100. (Tome
x 1 en la fórmula para composición continua). Si se invierte al 10% anual, aumentaría
por un factor de 1.1 durante cada año. Por tanto, debemos hacer
Pe i (1.1)P o e i 1.1
Si tomamos logaritmos naturales en ambos miembros, obtenemos
ln(e i ) ln(1.1)
Pero, ln(e x ) x, para cualquier número real x, de modo que
i ln(1.1) 0.0953
log (0.05 0.3)
Respuesta
log (0.5)
0.7782
2.58 horas
0.3010
Por tanto, R 100i 9.53.
De modo que 10% de interés compuesto anualmente es equivalente al crecimiento
anual proporcionado por medio de una tasa de interés nominal de 9.53%
compuesto continuamente. ☛ 27
Las fórmulas siguientes resumen los procedimientos para intercambiar entre
tasas efectiva y anual para composición continua.
250 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES