Matemáticas aplicadas

☛ 24. ¿Para qué valores de h y k
la siguiente función es continua en
x 2
f(x) (x 2) 2
si x 2
x 2 4
h si x 2
2x k si x 2
Solución
Condición (1) Es claro que, f(x) está definida en x 3 y f(3) 5
Condición (2) lím f(x) lím x 2
9
lím (x 3)(x
3)
x→3
x→3 x 3 x→3 x 3
lím (x 3) 3 3 6
x→3
Condición (3) lím f(x) 6 y f(3) 5 no son iguales.
x→3
En este caso, las primeras dos condiciones se cumplen, pero la tercera condición
no se satisface, de modo que la función dada es discontinua en x 3. Esto se
advierte en la figura 14. La gráfica de f(x) se rompe en x 3 y el punto aislado
(3, 5) de la gráfica no está unido continuamente al resto de la gráfica. ☛ 24
y
8
6
4
(3, 5)
2
4 2 0 2 4 6 x
FIGURA 14
A primera vista parecería que las funciones discontinuas son de poca importancia
en los problemas prácticos. Sin embargo, éste no es el caso, como el siguiente
ejemplo de muestra.
EJEMPLO 6 (Función de costo del azúcar) Un mayorista vende azúcar a 50¢ el
kilo en el caso de cantidades hasta de 100 kilos. Si se trata de cantidades entre 100
y 200 kilos la tarifa es de 45¢ el kilo y para órdenes por encima de los 200 kilos el
precio es de 40¢ el kilo. Sea y f(x) el costo en pesos de x kilos de azúcar. Entonces
si x 100, y (0.5)x. Para 100 x 200, el costo es de $0.45 por kilo, de
modo que y 0.45x. Por último, si x 200, y 0.4x. La gráfica de esta función
aparece en la figura 15. Es claro que la función es discontinua en x 100 y x 200.
Respuesta h 0, k 4
En la sección 11-3, definimos el término diferenciabilidad: se dice que una
función f(x) es diferenciable en el punto x si la derivada
486 CAPÍTULO 11 LA DERIVADA