Matemáticas aplicadas

☛ 7. Utilice el método gráfico
para determinar el valor máximo de
Z x y cuando x y y están
restringidas por las desigualdades
0 x 4, y 0, x 2y 6
El punto C es la intersección de las dos líneas rectas que acotan la región factible.
Sus coordenadas se obtienen resolviendo las ecuaciones de estas dos líneas,
5x 3y 105 y 2x 4y 70. Resolviendo estas ecuaciones, encontramos que
x 15 y y 10. Por consiguiente, la utilidad es máxima cuando la empresa produce
15 artículos del tipo X y 10 del tipo Y a la semana. La utilidad semanal máxima
está dada por
P máx
200x 160y 200(15) 160(10) 4600
Respuesta Z máx
5 en el vértice
x 4 y y 1
6
4
2
y
x y 5
x 4
2 2 4 6
x 2y 6
☛ 8. Determine los valores
máximo y mínimo de Z 2y x,
cuando x y y están restringidas
por las condiciones
x 0, y 0, 3x 2y 6,
x y 1
x
La utilidad máxima es por tanto $4600.
El procedimiento usado en la resolución de este problema también puede emplearse
cuando ocurre un número mayor de desigualdades. ☛ 7, 8
EJEMPLO 2 Una empresa de productos químicos produce dos tipos de fertilizantes.
Su marca regular contiene nitratos, fostatos y potasio en la razón 3 : 6 : 1 (en
peso) y su marca super contiene estos tres ingredientes en la razón 4 : 3 : 3. Cada
mes la empresa puede confiar en un suministro de 9 toneladas de nitratos, 13.5 toneladas
de fosfatos y 6 toneladas de potasio. Su planta productora puede elaborar a
lo más 25 toneladas de fertilizantes al mes. Si la empresa obtiene una utilidad de
$300 por cada tonelada de fertilizante regular y $480 por cada tonelada del super,
¿qué cantidades de cada tipo deberá producir para obtener la máxima utilidad
Solución La información dada se resume en la tabla 2.
TABLA 2
Nitratos Fosfatos Potasio Utilidad
Marca regular 0.3 10.6 0.1 300
Supermarca 0.4 10.3 0.3 480
Suministros disponibles 9 13.5 6
Respuesta Z máx
2.8 en x 0.8,
y 1.8;
Z mín
2 en x 2, y 0
3
2
1
y
y x 1
3x 2y 6
2y x 2.8
2y x 2
2 1 2 3
x
Denotemos con x la producción de la empresa del tipo regular y con y las toneladas
del fertilizante de tipo super al mes. Entonces, como cada tonelada del tipo regular
contiene 0.3 toneladas de nitratos y cada tonelada del tipo super contiene 0.4 toneladas
de nitratos, la cantidad total de nitratos usada es 0.3x 0.4y. Ésta no puede
exceder el suministro disponible de 9 toneladas, de modo que tenemos la condición
0.3x 0.4y 9.
Procediendo de manera similar con los fosfatos y el potasio, obtenemos las
otras dos condiciones, 0.6x 0.3y 13.5 y 0.1x 0.3y 6.
Además de estas condiciones, existe también la condición de que la producción
total del fertilizante, x y, no puede exceder la capacidad de la planta de 25
toneladas, de modo que x y 25. Después de eliminar los decimales, obtenemos
el siguiente sistema de desigualdades que x y y deben satisfacer.
3x 4y 90 6x 3y 135
x 3y 60 x y 25
x 0 y 0
SECCIÓN 10-2 OPTIMIZACIÓN LINEAL (ENFOQUE GEOMÉTRICO) 411