Matemáticas aplicadas

Para un punto crítico, f(x) 0; por lo que x 0 o 4 .
3
(Observe que x 1 no
es un punto crítico ya que f(1) no está definida).
En este caso, debemos tener un poco de cuidado ya que el dominio de la función
no es toda la recta real. Debemos considerar los cuatro intervalos (q, 0),
(0, 1), (1, 4 ) 3 y (4 ,
3
q), puesto que x 1 no pertenece al dominio. Seleccionando un
punto de prueba como es usual en cada uno de estos intervalos, obtenemos el resultado
que se muestra en la tabla 4.
TABLA 4
Intervalo (q, 0) (0, 1) (1, 4 ) 3 (4 ,
3
q)
Punto de prueba 1 1 2 7 6 2
f(x) ( 1) (7)
( 1 ( 7 6 )3 ( 3 6 )
0 0 0 (2 )
3
2 )3 ( 5 2 )
( 2)
0
( 2) 1 ( 1)
2
(
1 ( 6
) 2
2
) 2
f Creciente Decreciente Decreciente Creciente
☛ 8. Determine los extremos
locales de
a) f(x) 12x – x 3
b) f(x) 2x 4 – x 2
c) f(x) x 2/3 (x – 10)
Así, justo antes de x 0, f es positiva, mientras que poco después de x 0
es negativa. Por tanto, por la parte a) del teorema 1, x 0 es un máximo local de f.
Justo antes de x 4 , 3 f es negativa mientras que justo después de x 4 3 es positiva.
Por tanto, por la parte b) del teorema 1, x 4
3
es un mínimo local de f.
Es muy importante en este tipo de ejemplo utilizar diferentes puntos de prueba
para examinar f después de 0 y antes de 4 3 ya que el intervalo completo entre estos
dos puntos críticos no está en el dominio de la función. ☛ 8
Respuesta a) Mínimo local en
–2, máximo local en x 2
b) mínimos locales en x ± 1 2 ,
máximo local en x 0
c) máximo local en x 0,
mínimo local en x 4
Resumen para la determinación de extremos locales por medio de la
prueba de la primera derivada
Paso 1. Encuentre f(x) y determine los puntos críticos, esto es, los puntos
en donde f(x) es cero o no existe.
Paso 2. Los puntos críticos dividen al dominio de f en varios intervalos.
En cada intervalo seleccione un punto de prueba y calcule f(x) en ese punto. Si
el valor es positivo, entonces f es una función creciente en todo el intervalo correspondiente.
Si el valor de f(x) en el punto de prueba es negativo, entonces f
es decreciente en el intervalo entero.
Paso 3. Si f es positiva a la izquierda y negativa a la derecha de un punto
crítico, entonces ese punto es un máximo local. Si f es negativa a la izquierda
y positiva a la derecha de un punto crítico, entonces ese punto es un mínimo
local. Si f tiene el mismo signo en ambos lados de un punto crítico, entonces
ese punto no es un extremo local.
EJERCICIOS 13-2
(1-20) Determine los puntos críticos para las siguientes funciones.
1. x 2 3x 7 2. 3x 5 7. x 2 (x 1) 3 8. (x 1) 2 (x 2) 3
3. 2x 3 6x 4. 2x 3 3x 2 36x 7
5. x 4 2x 2 6. x 4 4x 3 5 9. 3x 1
3x
10. x 2 x 2
542 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS