Matemáticas aplicadas

2. y 3x 2 12x 5 3. y 2x 3 3x 2 12x 10
ln(x)
*27. Determine los extremos absolutos de f(x) en el intervalo
1 x 5.
5 3
x 5 x 3
x
2
*4. y x 2 e x 5. y
28. (Ingreso máximo) Una compañía determina que su ingreso
6. y x 1/3 7. y e x2 /2
total se describe mediante la relación
8. Si x unidades pueden venderse a un precio de $p cada una,
R 750,000 x 2 1000x,
con 4p 7x 480, demuestre que el ingreso marginal en donde R es el ingreso total y x es el número de artículos
nunca es creciente.
vendidos.
9. La ecuación de demanda de cierto artículo es p 100e x/20 .
¿En qué nivel de ventas x el ingreso será creciente
10. La ecuación de demanda de cierto artículo es p 100e x/20 .
¿En qué nivel de ventas, x, el ingreso marginal será creciente
11. La relación de demanda de un artículo está dada por p
100ln(2x1). Demuestre que la demanda marginal siempre
es creciente.
12. La producción industrial, N, de cierto país t años después
de 1930 se determinó que estaba dada mediante N 375/
(1 215e 0.07t ).
a) ¿Ha estado creciendo o decreciento la producción
b) Mediante el uso de logaritmos, exprese t en términos de N.
(13-20) Determine los puntos críticos de las siguientes funciones
y determine cuáles de ellos son máximos o mínimos locales.
13. x 2 6x 10 14. 3x 4 2x 3 36x 2 54x 50
15. x 3 2 ln(x) 16. 40t 3 9t 2 12t 8
17. t 4 4t 3 6t 2 4t 4 *18. 3⏐x 2⏐
x 1
*19.
2
20. x 2
1
x2 1
21. Determine el valor de la constante k de modo que f(x)
kx 2 6x 2 tenga:
a) un máximo local en x 3
b) un mínimo local en x 1
22. Determine las constantes a, b y c de modo que la función
x 3 ax 2 bx c tenga un máximo en x 5 y un mínimo
en x 1.
23. Determine las restricciones sobre las cosntantes a, b y c de
forma tal que la función f(x) ax 2 bx c tenga un máximo
local.
24. Determine las constantes a, b y c de modo que la función
x 3 ax 2 bx c tenga un punto de inflexión en x 3,
un mínimo en x 0 y que pase por el punto (1, 0).
25. Determine los extremos absolutos de h(x) x 2 (x 1)(2/3)
en el intervalo 1 x 3.
1
26. Determine los extremos absolutos de g(x) en el
x2 1
intervalo 1 x 3.
a) Encuentre el número de artículos vendidos que maximizan
el ingreso total.
b) ¿Cuál es el monto de este ingreso total máximo
c) Si se venden 1000 artículos, ¿cuál sería el ingreso total
29. (Ingreso máximo) La función de demanda para cierto bien
está dado por p 10e x/6 , para 0 x 10, donde p es el
precio por unidad y x el número de unidades pedidas.
a) Encuentre el número de artículos vendidos que maximizan
el ingreso total.
b) ¿Cuál es el precio que produce el ingreso máximo
c) ¿Cuál es el monto de este ingreso máximo
30. (Utilidad máxima) Una compañía determinó que en la fabricación
y venta del bien que produce, la relación de
demanda está dada por p 0.002x 5, mientras que la
función de costo es C(x) 3 1.1x
a) Determine el nivel de producción que producirá la máxima
utilidad.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima
31. (Epidemia) Durante cierta epidemia de influenza, la proporción
de población baja en defensas que fue infectada, se
denota por y(t), donde t es el tiempo en semanas desde que
se inició la epidemia. Se determinó que
t
y(t) 4 t
2
a) ¿Cuál es la interpretación física de dy/dt.
b) ¿Para cuál valor de t es máxima y
c) ¿Para cuáles valores de t es y creciente y para cuáles es
decrecientes
32. (Diseño óptimo) Una compañía se dedica a la fabricación
de pequeñas cajas con base cuadrada y sin tapa. Si el material
utilizado tiene un costo de 2 centavos por pulgada
cuadrada, determine las dimensiones de la caja que minimizan
el costo de material, si la capaciadad de las cajas debe
ser igual a 108 pulgadas 2 .
33. (Diseño óptimo) Con respecto al problema anterior, si el
material para la base de la caja tiene un costo de 4 centavos
por pulgada cuadrada, ahora, ¿cuáles son las dimensiones
que minimizan el costo del material
34. (Utilidad máxima) Una compañía determina que el costo
total C, el ingreso total R y el número de unidades producidas
x están relacionadas por
C 100 0.015x 2 y R 3x
588 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS