Matemáticas aplicadas

EJEMPLO 1 Encuentre los valores de x en los cuales la función
crece o decrece.
f(x) x 2 2x 1
☛ 1. Por medio del examen del
signo de f decida para qué valores
de x las funciones siguientes son
crecientes o decrecientes
a) f(x) x 2
b) f(x) x 2 4x
c) f(x) x 3
Solución Dado que f(x) x 2 2x 1, tenemos que f(x) 2x 2. Ahora f(x)
0 implica que 2x 2 0, esto es, x 1. En consecuencia, f(x) es creciente en
todos los valores de x dentro del intervalo definido por x 1. De manera similar,
f(x) 0 implica que 2x 2 0, esto es, x 1. La función decrece si x l.
La gráfica de y f(x) aparece en la figura 4. (Observe que f(1) 0, de modo
que el punto (1, 0) está sobre la gráfica). Si x 1, la gráfica está inclinada hacia
abajo, y para x 1, está inclinada hacia arriba. ☛ 1
y
(2, 9)
8
(4, 9)
6
4
(0, 1)
2
(1, 0)
(2, 1)
4 2 0 2
4
x
FIGURA 4
EJEMPLO 2 Determine los valores de x en los cuales la función
f(x) x 3 3x
crece o decrece.
Respuesta a) Creciente para
x 0, decreciente para x 0
b) creciente para x 2, decreciente
para x 2 c) creciente
para x 0 y para x 0
Solución Tenemos que f(x) 3x 2 3 3(x 1)(x 1). Con el objetivo de
determinar el intervalo en que f(x) crece, hacemos f(x) 0, esto es,
3(x 1)(x 1) 0
Este tipo de desigualdad cuadrática se estudió en la sección 3-3. El procedimiento
consiste en examinar los signos de los factores (x 1) y (x 1). Éstos se ilustran
en la figura 5. El factor (x 1) es positivo si x 1 y negativo en el caso de que
x 1. Mientras que (x 1) es positivo si x 1 y negativo para x 1.
Estos dos números dividen la recta real en tres intervalos: (q, 1), (1, 1)
y (1, q). En cada uno de estos intervalos, f(x) tiene signo constante y sólo cambia
de signo en x ±1, en donde es cero. Así que sólo seleccionamos un punto de prueba
en cada intervalo y calculamos el signo de f(x) en cada punto de prueba. Los resultados
se dan en la tabla 1.
532 CAPÍTULO 13 OPTIMIZACIÓN Y BOSQUEJO DE CURVAS