Matemáticas aplicadas

a
1
b 1
a 1 b 2 a 2 b 1
a 2
b 2
()
()
Los símbolos () y () indican los signos asociados con los productos.
EJEMPLO 1 Evalúe los siguientes determinantes:
a)
2 3
b)
3 2
0 4
4 5
Solución
☛ 15. Evalúe los siguientes determinantes:
a)
3 4
b)
0 4
2 2 2 5
c)
2 10
1 18
a) () ()
2 3
4 5
2(5) 4(3) 10 12 22
b) () ()
3 2
0 4
3(4) 0(2) 12 0 12 ☛ 15
DEFINICIÓN Un determinante de orden 3 se define con la siguiente expresión:
a
1
b 1
c 1
a
a 1 b 2 c 3 a 2 b 3 c 1 a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 3 b 2 c 1 a 2 b 1 c 2
b 2
c 2
3
a 3
b 3
c 3
La expresión de la derecha se denomina el desarrollo completo del determinante
de tercer orden. Observe que contiene seis términos, tres positivos y tres negativos.
Cada término consta de un producto de tres elementos del determinante.
Al evaluar un determinante de tercer orden, por lo regular no usamos el desarrollo
completo; en vez de ello, utilizamos los denominados cofactores. Cada elemento
del determinante tienen asociado un cofactor, que se denota con la letra
mayúscula correspondiente. Por ejemplo, A 2
indica al cofactor de a 2
, B 3
denota al
cofactor de b 3
, etc. Estos cofactores están definidos de la siguiente manera.
DEFINICIÓN El menor de un elemento de un determinante es igual al determinante
obtenido suprimiendo el renglón y la columna de que contienen al elemento
considerado. Si este elemento pertenece al i-ésimo renglón y a la j-ésima columna
de , entonces su cofactor es igual a (1) ij veces su menor.
Respuesta a) 14; b) 8; c) 26
EJEMPLO 2
a) En el determinante de la última definición, a 2
aparece en el segundo renglón
y la primera columna (i 2 y j 1), de modo que su cofactor es
SECCIÓN 9-4 DETERMINANTES 381