Matemáticas aplicadas

☛ 18. Evalúe el determinante
2 10 3
4 10 5
3 11 13
Respuesta Desarrollando por medio
de la segunda columna. El único
término distinto de cero es
2 3
11 4
522
b) Desarrollando por la tercera columna, tenemos que
2 3
d 4
c 1
C 1
c 2
C 2
c 3
C 3
1 4 2
a 1
b 1
c 1
d 1
a 2
b 2
c 2
d 2
a 3
b 3
c 3
d 3
a 4
b 4
c 4
d 4
5 6 5 6 1 4
b 4
c 4
a 4
c 4
d 4
a 4
b 4
d 4
Su desarrollo por el primer renglón está dado por
b 2
c 2
d 2
a 2
c 2
d 2
a 2
b 2
d 2
b 3
c 3
d 3
a 3
c 3
d 3
a 3
b 3
d 3
(0) 3
3
(0)
En este desarrollo, dos de los términos son cero, por lo que 3 [2(6) (3)
(5)] 9
En el ejemplo 4, se obtiene la misma respuesta usando ambos desarrollos, pero
los cálculos requeridos por el segundo desarrollo son un poco más sencillos, porque
la tercera columna tiene dos ceros y dos de los tres términos de este desarrollo
podrían de inmediato eliminarse. Por lo general es más fácil el desarrollo de un determinante
si decidimos hacerlo eligiendo el renglón o columna con el máximo número
de ceros. ☛ 18
A partir de la exposición anterior, es claro que podemos desarrollar un determinante
de orden 3 por cualquier renglón o columna. En tal desarrollo, los términos
alternan su signo y cada elemento en un renglón o columna dados multiplica al determinante
2 2 (el menor), obtenido suprimiendo de el renglón y la columna
que contiene tal elemento.
Observemos que algunas veces el signo del primer término del desarrollo es positivo
(como en el ejemplo 3 y la parte b) del ejemplo 4) y en otras ocasiones es
negativo (como en la parte a) del ejemplo 4). De hecho, el primer término en un desarrollo
es positivo cuando realizamos el desarrollo por el primero o tercer renglón
(o columna) y es negativo cuando desarrollamos por el segundo renglón (o columna).
Estas reglas se extienden en forma natural a determinantes de orden mayor
que 3. Cualquier determinante puede evaluarse desarrollándolo por renglones o columnas.
El determinante se obtiene multiplicando cada elemento en el renglón (o
columna) por su cofactor y sumando todos los productos obtenidos. La regla que
permite evaluar los cofactores es la misma que en el caso de determinantes 3 3:
el cofactor del elemento común al i-ésimo renglón y a la j-ésima columna es igual
a (1) ij multiplicado por el determinante obtenido suprimiendo el i-ésimo renglón
y la j-ésima columna.
Por el ejemplo, consideremos el siguiente determinante de orden 4:
a
a 1 1 1 1
2
b 2
c 2
b c d a 3
b 3
c 3
a 1
A 1
b 1
B 1
c 1
C 1
d 1
D 1
a 4
b 4
c 4
en donde A 1
, B 1
, C 1
y D 1
denotan los cofactores de a 1
, b 1
, c 1
y d 1
, respectivamente, en .
384 CAPÍTULO 9 INVERSAS Y DETERMINANTES