Matemáticas aplicadas

EJEMPLO 9 Cada mes Jane deposita $100 en un plan de ahorros que genera interés
al 1 %
2
mensual. Calcule el valor de sus ahorros a) inmediatamente después de
que haga su n-ésimo depósito y b) inmediatamente después de que haga su depósito
número 25.
Solución Sea y n
el valor del plan inmediatamente después del depósito n. Entonces,
primero, el valor inicial es y 1
100. (Un valor alterno inicial sería y 0
0). Segundo,
podemos relacionar y n
con el valor precedente y n1
como sigue:
Valor después del depósito
n Valor después del depósito (n1) Interés Nuevo depósito
y n
y n1
0.005y n1
100
El segundo término del lado derecho es el interés sobre el monto y n1
para un mes a
la tasa de 1 2 %. Así, y n
1.005y n1
100
que es la ecuación en diferencias del mismo tipo que en el teorema 2. Las dos constantes
son a 1.005 y b 100, y así, con base en el teorema, la solución es
b
100
y n
ca n c(1.005) n c(1.005) n 20,000
a 1
1.00 5 1
Haciendo n 1 y utilizando la condición inicial, obtenemos
y 1
1.005c 20,000 100
lo cual implica que c 20,000. Así la solución a la parte a) es
y n
20,000[(1.005) n 1]
☛ 26. En el ejemplo 9, escriba
la ecuación en diferencias, si los
pagos mensuales son de $150 y
la tasa de interés es 1% mensual.
Encuentre la solución general y
la solución que satisface y 0
0
Para responder la parte b) simplemente tomamos n 25 en esta fórmula:
y n
20,000[(1.005) 25 1] 20,000(1.13280 1) 2655.91
El valor del plan de ahorro después de 25 depósitos es $2655.91. Estas respuestas
son las mismas que las que obtuvimos en el ejemplo 1 de la sección 7-3. ☛ 26
Generalizamos este ejemplo. Supóngase que una cantidad P se deposita en un
plan de ahorro al final de cada periodo, en donde el periodo podría ser un mes,
un trimestre, un año o cualquier otra longitud fija de tiempo. Sea R la tasa de interés
por periodo. Como en el ejemplo, sea y n
el valor de la inversión inmediatamente
después de que se hace el n-ésimo depósito. Entonces, como antes,
Respuesta y n
y n1
0.01y n1
150,
y n
c(1.01) n 15,000,
y n
15,000[(1.01) n 1]
Valor después del depósito
n Valor después del depósito (n1) Interés Nuevo depósito
y n
y n1
1
R
00 y n1 P
298 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS