Matemáticas aplicadas

☛ 20. Simplifique las expresiones
siguientes utilizando las
propiedades de los logaritmos
naturales:
a) ln (4x 2 ) ln (6x)
b) ln(e 2x x)
1x
c) ln (1 x 2 ) ln
1x
d) ln (x 3 ) ln (x 2 )
e) 1 ln e3 x
x
ln 2(1 64 36 28) ln 3( 16 12 28)
ln 5(16 24 7)
ln 2 ln 5 ln (2 5) ln 10 ☛ 20
EJEMPLO 10 Resuelva las siguientes ecuaciones para x.
a) 2 ln (2x 2) ln 1 1 2x
25
2 ln 10
b) log x
(3 2x) 2
Respuesta
b) 2x 1 2 ln x c) 2 ln (1 x)
d) ln x; (e) 3 2
a) ln 2 3 x
☛ 21. Resuelva para x:
a) ln (e x ) 2
b) ln(x 1) ln (x 1) 1
c) 2 ln (x 1)
ln (x 3) ln 2
Solución
a) Utilizando las propiedades de los logaritmos, podemos escribir la ecuación
dada en la forma
Por tanto,
ln(2x 2) 2 ln 1 1 2x
25
ln 100
ln 100 1 1 2
(2x 2) 2 100 48x
2x
5 ln (100 48x)
Ésta es una ecuación cuadrática cuyas soluciones se ve fácilmente que son x 12
y x 2. Sin embargo, cuando x 2, el término ln(2x 2) ln(2) en la ecuación
original no está definido. De modo que x 2 no puede ser solución y x
12 es la única solución.
b) El enunciado log x
p q es equivalente a la forma exponencial p x q . La
ecuación dada está de esta forma con p 3 2x y q 2, de modo que es equivalente
a
3 2x x 2
Las raíces de esta ecuación cuadrática son x 1 y x 3. Pero en la ecuación original,
x es una base, y no puede ser igual a 1 o ser negativa. Por lo que la ecuación
dada no tiene soluciones. ☛ 21
Dos propiedades importantes de los logaritmos naturales se obtiene por medio
de la eliminación de x o y de las dos ecuaciones, y e x , ln y x. Al sustituir
y e x en la segunda ecuación, obtenemos ln y ln(e x ) x. De manera alterna, al
sustituir x ln y en la primera ecuación obtenemos y e x e ln y . Así,
Respuesta a) 4 b) e 1
e 1
c) 5. (x 1 no es una
solución).
e ln y y para toda y 0 ln(e x ) x para toda x
Por ejemplo, e ln 2 2, ln(e 3 ) 3
244 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES