Matemáticas aplicadas

☛ 10. ¿Las matrices siguientes
son posibles matrices de transición
Si la respuesta es sí, proporcione
las probabilidades de que el
sistema cambie al estado 1 y de
que permanezca en el estado 3, si
se encuentra en el estado 3.
0.1 0.2 0.7
a) 0.5 0.5 0.1
0.4 0.3 0.2
0.5 0.5 0.5
b) 0.5 0.5 0.5
0.5 0.5 0.5
0.4 0.3 0.3
c) 0.7 0.7 0.4
0.1 0.6 0.3
i. Pero ya que el sistema tiene que estar en uno de estos n estados, la suma de probabilidades
debe ser igual a 1. Esto significa que los elementos en cualquier renglón
de la matriz de transición deben sumar 1.
2. Cada elemento debe ser no negativo: p ij
0
EJEMPLO 1 Dada la matriz de transición
P
0.3 0.5 0.2
0.4 0.2 0.4
0.5 0.4 0.1
¿cuál es la probabilidad de que en el próximo ensayo el sistema cambie: a) del estado
2 al 1; b) del estado 1 al 3
Solución Por definición, en la matriz de transición P, p ij
denota la probabilidad de
que el sistema cambie del estado i al j. Así, en la parte a) nos interesa p 21
, la probabilidad
de un cambio del estado 2 al 1. Ésta es igual a 0.4 (el elemento del segundo
renglón y la primera columna).
En forma análoga para la parte b), requerimos p 13
0.2. ☛ 10
EJEMPLO 2 (Partidos políticos) En cierta nación hay tres partidos políticos principales:
el liberal (L), el conservador (C) y el demócrata (D). La matriz de transición
siguiente da las probabilidades de que la nación sea controlada por cada uno de
los tres partidos políticos después de una elección, conocidas las diversas posibilidades
del resultado de la elección anterior:
L
C
D
L C D
0.7 0.2 0.1
0.5 0.3 0.2
0.3 0.4 0.3
Suponiendo que el partido liberal tiene el control ahora, use un diagrama de árbol
para determinar la probabilidad de que el partido conservador esté en el poder después
de las dos próximas elecciones.
Respuesta a) No. b) Sí, 0.5, 0.
c) No.
Solución Los resultados posibles de las dos próximas elecciones aparecen en la figura
1, cuando empezamos con el partido liberal en el poder. Puesto que buscamos
la probabilidad de que el partido conservador asuma el mando después de dos elecciones,
sólo nos interesan aquellas ramas del diagrama que terminan en C. Los números
a lo largo de las ramas son las probabilidades apropiadas dadas en la matriz
de transición. Por ejemplo, el número 0.1 en la rama de L a D es la probabilidad de
que los liberales sean reemplazados por los demócratas en la elección siguiente. El
número 0.4 en la rama de D a C es la probabilidad de que los conservadores asuman
el poder en la segunda elección dado que los demócratas tomaron el mando en la
primera elección. El producto (0.1)(0.4) da la probabilidad de que los liberales sean
reemplazados por los demócratas y éstos a su vez por los conservadores.
SECCIÓN 9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) 371