Matemáticas aplicadas

caigan sobre la línea recta, la línea aproxima los datos observados bastante bien. Esta
línea puede utilizarse con el objetivo de predecir ventas futuras de neumáticos, si
la administración de la empresa dispone de alguna estimación del número de automóviles
que circularán en años futuros.
Dibujar una línea a ojo no es objetivo, en el sentido de que es posible trazar
otra línea que parezca ajustarse al conjunto de puntos o que sea mucho mejor que la
dibujada. Lo que se necesita es algún criterio objetivo para decidir sobre la línea recta
particular que se ajuste mejor a los puntos observados. Tal criterio lo proporciona
el método de mínimos cuadrados.
Supongamos que hay n datos observados que se grafican como una sucesión
de puntos (x 1
, y 1
), (x 2
, y 2
),..., (x n
, y n
) en el plano xy. Buscaremos la línea recta que,
en cierto sentido, está más cerca a estos puntos.
Sea la ecuación de la línea recta que mejor se ajusta a los n puntos dados
y ax b (1)
con a y b constantes. Nuestro propósito es determinar a y b, los cuales ajustarán la
línea recta. Cuando x x i
, el valor observado de y es y i
; sin embargo, el valor ‘‘correcto’’
es ax i
b, obtenido reemplazando x x i
en la ecuación (1).
El error en el valor y i
es igual a la diferencia y i
(ax i
b) entre el valor observado
y el valor teórico de y. (Véase la figura 18). El error cuadrado se define
por (y i
ax i
b) 2 . Entonces, el error cuadrado medio, E, se define como el promedio
de todos los errores cuadrados. Esto es,
E 1 n [(y 1 ax 1 b)2 (y 2
ax 2
b) 2 (y n
ax n
b) 2 ]
Así que al calcular E, determinamos el error cuadrado de cada punto individual, sumamos
éstos para los n puntos y luego dividimos entre n.
y
y ax b
(x n , y n )
y i
ax i b
Error en y i
(x 1 , y 1 )
(x 2 , y 2 )
0 x i
x
FIGURA 18
SECCIÓN 17-6 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS 761