Matemáticas aplicadas

en donde t es el tiempo medido en años desde 1970. ¿Cuándo alcanzará la población
los 25 millones, suponiendo que esta fórmula mantiene su validez
Solución Haciendo P 25, obtenemos la ecuación
15e 0.02t 25 o bien e 0.02t 2
15
1.667
De nuevo, tenemos una ecuación en la cual la incógnita aparece como exponente y
podemos despejar t tomando logaritmos en ambos lados. Sin embargo, dado que la
exponencial tiene base e, es más fácil tomar logaritmos naturales, puesto que e 0.02t
1.667 es lo mismo que 0.02t ln 1.667. En consecuencia
5
ln 1.667 0.5108
t 25.5
0.02 0.02
Por tanto, la población tarda 25.5 años en alcanzar los 25 millones, lo que ocurrirá
a mediados de 1995.
Es posible expresar logaritmos con respecto a una base en términos de logaritmos
con respecto a cualquier otra base. Esto se realiza por medio de la fórmula
de cambio de base, la cual afirma que
Fórmula de cambio de base para logaritmos
log a
y
log b
y
logb a
Antes de probarla, ilustrémosla examinado dos importantes casos especiales.
En primer término, sea b e, de modo que log b
y ln y y log b
a ln a. Entonces,
tenemos:
ln
y
log a
y
l n a
Concluyendo, el logaritmo de y con base a es igual al logaritmo natural de y dividido
entre el logaritmo natural de a.
Segundo, haciendo b 10, de modo que log b
y log y y log b
a log a. Así:
log
y
log a
y
l og
a
que expresa log a
y como el cociente de los logaritmos comunes de y y a.
EJEMPLO 7 Si a 2, tenemos lo siguiente:
ln
y ln
y
log 2
y
l n 2 0. 6931
252 CAPÍTULO 6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES