Matemáticas aplicadas

Las dos derivadas mixtas de segundo orden se obtienen como sigue (usando la regla
de la cadena en la etapa intermedia).
2z
y x
y
z
x
x
y
x [(x 2 y 2 ) 1/2 ]
x 2
y 2 y
x( 1 2 )(x2 y 2 ) 3/2 (2y)
xy(x 2 y 2 ) 3/2
2z
x y
x
z
y
y
x
x [(x 2 y 2 ) 1/2 ]
x 2
y 2 x
xy(x 2 y 2 ) 3/2
Puede advertirse que estas dos derivadas son iguales.
En el caso de las dos derivadas restantes, debe utilizarse la regla del cociente.
2
z x
x2
x
x 2
y 2
x
2 y 2 (/x)(x) x(/x)(x 2 y 2 )
(x 2 y 2 ) 2
x
2 y 2 (1) x (x/x 2 y 2 )
(x 2 y 2 )
(x
2 y 2 ) x
2
(x2 y 2 ) x 2 y 2
y 2
(x2 y 2 ) 3/2
2
z 2z
☛ 7. Calcule y para las
x2
yx
funciones a) z x p y q
x
b) z
x y
En forma similar, podemos demostrar que
2 z
y
2
x 2
☛ 7
(x2 y 2 ) 3/2
Podemos continuar este proceso y calcular derivadas parciales de órdenes más
altos:
3 z
x
3
2
z
x
x2
,
3
z
y x 2 y 2
z
x2
,
3z
x y
x x
2z
y z
,
Respuesta
2
z
a) p(p 1)x p2 y q
x2
2z
pqx p1 y q1
yx
2
z 2y
b)
x2
(x y) 3
2z
x y
yx
(x y) 3
etcétera. Con tal de que todas las derivadas del orden dado sean continuas, el orden
en que las derivaciones con respecto a x y a y se realizan carece de importancia. Por
ejemplo, todas las siguientes derivadas mixtas son iguales.
3
z
3z
3z
y x 2 x y
x x x
y
Éstas se denotan por 3 z/x 2 y, indicando dos derivaciones con respecto a x y una
con respecto a y.
734 CAPÍTULO 17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES