Matemáticas aplicadas

y
(0, y 2 )
B
Q (x 2 , y 2 )
(0, y 1 )
A
P (x 1 , y 1 )
R
O M (x 1 , 0) N (x 2 , 0) x
FIGURA 5
ma figura. Sea R el punto en que la línea PA corta la línea QN, de modo que PQR
es un triángulo rectángulo con ángulo recto en R.
De la figura 5* tenemos que
y también
PR MN ON OM x 2
x 1
o bien
RQ AB OB OA y 2
y 1
Enseguida aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo PQR.
PQ 2 PR 2 RQ 2
d 2 (x 2
x 1
) 2 (y 2
y 1
) 2
Extrayendo raíz cuadrada (la raíz cuadrada es no negativa dado que la distancia
siempre es no negativa), tenemos
d (x 2
x 1
) 2 (y 2
y 1
) 2 (1)
que prueba el resultado. La ecuación (1) se conoce como fórmula de la distancia
en el plano.
EJEMPLO 1 Encuentre la distancia entre los puntos A(1, 3) y B(4, 15).
* La figura 5 se dibujó con P y Q en el primer cuadrante. Las ecuaciones para PR y RQ se aplican para
cualesquier cuadrantes donde estén situados los puntos. Sin embargo, en la figura 5, Q se dibujó a la derecha
de P, de modo que x 2
x 1
y y 2
y 1
. En el caso más general (cuando estas condiciones no se satisfacen)
las distancias vertical y horizontal entre P y Q están dadas por PR x 2
x 1
y RQ y 2
y 1
.
Puede verse entonces que la ecuación (1) para d aún es válida en este caso general.
SECCIÓN 4-1 COORDENADAS CARTESIANAS 125