Matemáticas aplicadas

☛ 6. Después del ejemplo 1,
evalúe
a) lím x 2
4
x→2 x 2
b) lím
x→3
x 1
x
2
1
lím f(x) lím (x 3) 3 3 6 ☛ 6
x→3
x→3
Al evaluar lím f(x), es legítimo dividir numerador y denominador entre un
x→c
factor común x c, como lo hicimos en el ejemplo 1, a pesar de que cuando x c,
estos factores son cero. Esto se debe a que el límite involucra el comportamiento de
f(x) cerca de x c, pero no se refiere al valor de f en x c. Mientras x c, los
factores del tipo x c pueden cancelarse. De hecho, el ejemplo 1 ilustró un caso en
el cual f(x) no estaba definida en x c y aún lím f(x) existió.
x→c
Estudiemos la idea del límite desde el punto de vista de la gráfica de la función
considerada. En primer término volvamos a nuestro ejemplo inicial en que
f(x) 2x 3. La gráfica de esta función es una línea recta con pendiente 2 y ordenada
al origen 3. Cuando x 1, y 5.
Considere cualquier sucesión de puntos P 1
, P 2
, P 3
, … , sobre la gráfica (véase
la figura 4) tales que las coordenadas x de los puntos se acercan a 1. Es claro que
los puntos mismos deben estar cerca del punto (1, 5) de la gráfica, y sus coordenadas
y se aproximan al valor límite 5. Esto corresponde a nuestra proposición anterior
de que lím (2x 3) 5.
x→1
y
y 2x 3
8
6
P 4 P 3
P 2
P 1
P 5
4
2
2 0 2 4 x
FIGURA 4
El ejemplo f(x) (x 2 9)/(x 3) es un poco diferente. Vimos antes que si
x 3, podemos escribir f(x) x 3. De modo que esta función también tiene una
línea recta como gráfica, con pendiente 1 y ordenada al origen 3. Sin embargo, f(x)
no está definida en x 3, por lo que el punto (3, 6) no pertenece a la gráfica. Este
hecho se indica en la figura 5 usando un pequeño círculo en este punto sobre la línea
recta. Otra vez, si consideramos una sucesión de puntos P 1
Respuesta a) 4 b) 1 2 , P 2
, P 3
,..., sobre la
SECCIÓN 11-2 LÍMITES 453