Matemáticas aplicadas

en lugar de [0.25 0.75]. En otras palabras, el 20% de las personas que requieren
transporte usan autobuses y el 80% emplean el automóvil. En este caso, las matrices
de estado después de 1, 2, 3, 4 y 5 años son las siguientes:
A 1
[0.2 0.8]
A 2
[0.64 0.36]
A 3
[0.728 0.272]
0.8 0.2
[0.64 0.36]
0.6 0.4
0.8 0.2
A 4
[0.746 0.254]
0.6 0.4 A 5
[0.749 0.251]
0.8 0.2
[0.728 0.272]
0.6 0.4
0.8 0.2
[0.746 0.254]
0.6 0.4
[0.749 0.251]
0.8 0.2
[0.750 0.250]
0.6 0.4
☛ 13. Repita los cálculos de
A 1
,... A 5
, si A 0
[0.3 0.7]
Así que de nuevo vemos que el porcentaje de la gente que usa autobuses se estabiliza
en 75% y el porcentaje de los que usarán el automóvil en 25%. ☛ 13
Observemos que la matriz de estado se estabiliza en [0.75 0.25], no importando
si la matriz de estado inicial es [0.25 0.75] o [0.2 0.8]. Estos resultados no
son accidentales; en muchas cadenas de Markov la matriz de estado se estabiliza
después de un gran número de ensayos sin importar la matriz de estado inicial. Esto
es consecuencia del siguiente teorema, que se establece sin demostración.
Respuesta A 1
[0.66 0.34]
A 2
[0.732 0.268]
A 3
[0.7464 0.2536]
A 4
[0.74928 0.25072]
A 5
[0.749856 0.250144]
TEOREMA 2 Se dice que una matriz de transición P es regular si para algún entero
positivo k la matriz P k no tiene elementos iguales a cero. Si P es una matriz de transición
regular, entonces sin importar la matriz de estado inicial, las matrices de
estado sucesivas se aproximan a alguna matriz de estado fija B en donde BP B.
La matriz B se denomina matriz estacionaria (o de estado estable) del sistema.
En el estudio anterior de un problema de tránsito urbano, encontramos que la
matriz estacionaria (con tres cifras decimales) es
B [0.750 0.250]
Demostraremos que esta misma matriz estacionaria puede obtenerse usando el teorema
2. La matriz de transición es
0.8 0.2
P 0.6 0.4
Sea B [p 1
p 2
] la matriz estacionaria requerida. Puesto que por definición, la suma
de las probabilidades de una matriz de estado es 1, debemos tener que
Ahora la ecuación BP B implica que
p 1
p 2
1 (1)
[p l
p 2
] 0.8 0.2
[p l
p 2
]
0.6 0.4
SECCIÓN 9-3 CADENAS DE MARKOV (OPCIONAL) 377