Matemáticas aplicadas

☛ 17. Calcule las derivadas hasta
la de tercer orden:
a) y x 6 b) y x 2
c) y x 2 ln x
Respuesta
a) y′ 6x 5 , y″ 30x 4 ,
y′″ 120x 3
b) y′ 2x 3 , y″ 6x 4 ,
y′″ 24x 5
c) y′ 2x ln x x,
y″ 2 ln x 3, y′″ 2x 1
d 6 y d d
5 y
d
dx (0) 0
dx
6 dx dx
5
etcétera. ☛ 17
En este ejemplo particular, todas las derivadas de orden más alto que la cuarta
derivada son cero. Esto ocurre porque la cuarta derivada es una constante.
EJEMPLO 2 Calcule la segunda derivada de f(t) e t 2 1
Solución Con el propósito de calcular la segunda derivada, usamos la regla de la
cadena. Así que
f(t) e t 2 1
d
dt (t 2 1) e t 2 1
2t 2te t 2 1
Ahora f(t) es el producto de dos funciones u 2t y e t 2 1
. Con la finalidad de
calcular f (t), aplicaremos la regla del producto.
d
f (t) 2t (e t 2 1
) e t 2 1
d
(2t) 2t e t 2 1
d
dt (t 2 1) e t 2 1
(2)
dt dt
en donde usamos la regla de la cadena para derivar e t 2 1
En consecuencia,
f(t) 2t[e t 2 1
2t] 2e t 2 1
2e t 2 1
(2t 2 1)
EJEMPLO 3 (Caída libre) Un cuerpo cae bajo la acción de la gravedad desde
una posición de reposo una distancia de s 16t 2 a los t segundos. Calcule su aceleración.
Solución La velocidad después de t segundos es
ds
dt
d
dt
(16t 2 ) 32t pies/segundo
Obtenemos la aceleración derivando de nuevo:
☛ 18. Si la distancia recorrida en
t segundos es s 12t t 3 , calcule
la distancia, velocidad y
aceleración cuando t 1, t 2,
y t 3
d
Aceleración 2 s d
(32t) 32 pies/segundo 2
dt
2 dt
Observe que es independiente de t: un cuerpo que cae bajo la acción de la gravedad
tiene una aceleración constante de 32 pies/segundo 2 . ☛ 18
Respuesta
11, 9 y 6 en t 1
16, 0 y 12 en t 2
9, 15 y 18 en t 3
Si C(x) es la función de costo de un fabricante (el costo de producir x artículos),
entonces, la primera derivada C(x) da el costo marginal, esto es, el costo por
artículo adicional de un pequeño incremento en la producción. La segunda derivada
C″(x) representa la tasa de cambio del costo marginal con respecto al incremento de
la producción. Tendremos más que decir sobre la interpretación de esta cantidad en
el próximo capítulo; mientras tanto, el siguiente ejemplo ilustrará ciertos aspectos
de su significado.
522 CAPÍTULO 12 CÁLCULO DE DERIVADAS