Matemáticas aplicadas

☛ 16. Sea f(x, y)
(x y) 2 2(x y) 2
Demuestre que f tiene un punto
crítico en (0, 0) en el que f x
f y
2. Sin embargo, f no tiene
un máximo local en el origen: en el
plano vertical y x, f(x, y)
(x y) 2 4x 2 , la cual tiene un
mínimo local en x 0
cesarias pruebas similares en el caso de una función f(x, y) de dos variables, ya que
de nuevo no todo punto crítico es un extremo. Esto se ilustra por la función z x 2
y 2 , que se consideró en el ejemplo 8 de la sección 17-1. Esta función tiene un punto
crítico en el origen que no es máximo local ni mínimo local. La sección vertical
de su gráfica determinada por el plano y 0 tiene un mínimo local en el origen;
mientras que la sección vertical de su gráfica definida por el plano x 0 presenta
un máximo local en el origen. (Véanse las figuras 6 a 8). Un punto crítico de este tipo
se denomina un punto silla.
Si f(x, y) tiene un máximo local en (x 0
, y 0
), entonces, es necesario que la sección
determinada por y y 0
también deba tener un máximo local en x x 0
. (Esto
es claro si observamos la figura 13). Esto se garantiza, si f x
(x 0
, y 0
) 0 y f xx
(x 0
, y 0
)
0, por la prueba de la segunda derivada de la sección 13.3. De forma similar,
si f y
(x 0
, y 0
) 0 y f yy
(x 0
, y 0
), entonces, la sección de la gráfica, en la que x x 0
es constante, debe ser cóncava hacia abajo y, por tanto, tiene un máximo local en
(x 0
, y 0
).
De manera similar, podemos advertir que si f yy
(x 0
, y 0
) < 0, entonces, la sección
de la gráfica en que x x 0
debe ser cóncava hacia abajo y tiene, por tanto, un
máximo local en (x 0
, y 0
).
Sin embargo, las dos condiciones f xx
0 y f yy
0 y en (x 0
, y 0
) no son suficientes
para garantizar que la superficie misma tenga un máximo local en (x 0
, y 0
).
Sólo garantizan que las secciones verticales definidas por los dos planos coordenados
x x 0
y y y 0
tengan máximos locales en el punto (x 0
, y 0
). Es muy posible que
las secciones de la gráfica tengan máximos locales en estos planos verticales, aunque
tengan un mínimo local en algún otro plano vertical a través de (x 0
, y 0
). ☛ 16
Por tanto, es claro que se requiere alguna condición extra con la finalidad de
completar el criterio para un máximo o mínimo. Esto se logra mediante el siguiente
teorema (que no probaremos).
TEOREMA 2 Sea (x 0
, y 0
) un punto crítico de la función f(x, y) para la cual
f(x 0
, y 0
) f y
(x 0
, y 0
) 0. Sea
(x, y) f xx
(x, y)f yy
(x, y) [f xy
(x, y)] 2
a) Si f xx
(x 0
, y 0
) < 0, f yy
(x 0
, y 0
) < 0 y (x 0
, y 0
) > 0, entonces, f(x, y) tiene
un máximo local en (x 0
, y 0
).
b) Si f xx
(x 0
, y 0
) > 0, f yy
(x 0
, y 0
) > 0 y (x 0
, y 0
) 0, entonces, f(x, y) tiene
un mínimo local en (x 0
, y 0
).
c) Si (x 0
, y 0
) 0, entonces, (x 0
, y 0
) no es extremo local de f(x, y), sino
es un punto silla.
Observaciones
1. Si (x 0
, y 0
) 0, entonces, este teorema no puede aplicarse para decidir sobre
máximos o mínimos.
2. Si (x 0
, y 0
) > 0, entonces, f xx
y f yy
necesariamente tienen el mismo signo
en (x 0
, y 0
). En consecuencia, en los casos a) y b) del teorema 2, sólo debe
determinarse el signo de una de estas derivadas parciales.
SECCIÓN 17-4 OPTIMIZACIÓN 747