Matemáticas aplicadas

CAPÍTULO
17
Funciones de varias
variables
Decisión sobre producción
En el capítulo 13 se analizó la optimización de funciones
de una variable, un tema de suma utilidad en las aplicaciones,
aunque en la mayoría de éstas la función que
debe optimizarse depende de más de una variable de decisión,
como es el caso al que se enfrenta Alejandro
Aguilera. Él trabaja para la compañía Limpieza Perfecta,
dedicada a la producción de jabones. Una división de ésta
es responsable de la fabricación de dos tipos de jabones,
de tocador y para cuerpo. El precio por caja de lo
que venda depende de la cantidad que produzca de cada
uno de estos dos tipos de jabones. Es decir, si se decide
producir x 1
cientos de cajas de jabón de tocador y x 2
cientos
de cajas de jabón para cuerpo, podrá vender todo lo
que produzca a los precios p 1
y p 2
, miles de dólares 100
cajas de jabón de tocador y para cuerpo, respectivamente.
Las siguientes ecuaciones relacionan los precios con
la cantidad producida y vendida de jabones,
y
p 1
80 3x 1
(1)
p 2
90 5x 2
(2)
En la siguiente gráfica se puede observar el comportamiento
del nivel de precio con respecto a la cantidad de
cajas producidas.
Precio
80
60
40
20
5 10 15 20 25
Cajas producidas
Por otro lado, el costo de fabricación de x 1
cientos de cajas
de jabón para tocador y x 2
cientos de cajas de jabón
para cuerpo, se determinó, que está dado por
C(x 1
, x 2
) 12x 1
8x 2
4x 1
x 2
Alejandro desea determinar cuántas cajas de cada tipo de
jabón debe producir para maximizar las ganancias, si supone
que puede vender todo lo que produzca, al precio
dado por las relaciones (1) y (2).
A lo largo de este capítulo se desarrollará la teoría
y las técnicas básicas para el estudio de funciones de varias
variables, así como su aplicación en la resolución de
problemas de optimización de funciones con y sin restricciones.
Así que, con ayuda de lo que aprenda en este
capítulo, ayude a Alejandro a resolver su problema.
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T EMARIO
17-1 FUNCIONES Y DOMINIOS
17-2 DERIVADAS PARCIALES
17-3 APLICACIONES PARA ANÁLISIS EN LA ADMINISTRACIÓN
17-4 OPTIMIZACIÓN
17-5 MULTIPLICADORES DE LAGRANGE (SECCIÓN OPCIONAL)
17-6 MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS
REPASO DEL CAPÍTULO
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