Matemáticas aplicadas

13-6 MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS
☛ 22. Por inspección de las siguientes
gráficas, proporcione los
valores de x en los que cada función
toma sus valores máximo absoluto
y mínimo absoluto en el intervalo
dado.
a)
y
a b c d x
En algunos problemas, ocurre que la variable independiente x se restringe a algún
intervalo de valores, digamos a x b, y necesitamos encontrar el valor máximo
o mínimo de una función f(x) sobre este conjunto de valores de x. De hecho, la mayoría
de nuestros problemas de la última sección eran de este tipo, si bien no enfatizamos
esto allí. Por ejemplo, si x es el nivel de producción de alguna empresa, x
está restringida al intervalo x 0 y nos interesa el valor máximo de la función de
utilidad en este intervalo. Cualquier máximo local que pueda ocurrir en algún valor
negativo de x no tiene importancia. Esta restricción sobre x no afecta ninguno de los
resultados que hemos obtenido, pero surgen casos en que restricciones similares pueden
afectar las conclusiones con respecto al óptimo.
DEFINICIÓN El valor máximo absoluto de f(x) sobre un intervalo a x b de
su dominio es el valor más grande de f(x) cuando x asume todos los valores entre a
y b. De manera similar, el valor mínimo absoluto de f(x) es el valor más pequeño
de f(x) a medida que x varía entre a y b.
b)
y
a b c d x
Es evidente que si f(x) es continua en a x b, el punto en que f(x) alcanza
su máximo absoluto debe ser un máximo local de f(x) o uno de los puntos extremos
a o b. Una proposición similar es válida en el caso del mínimo absoluto. Con
el objetivo de encontrar los valores máximos o mínimos absolutos de f(x) sobre a
x b, sólo tenemos que seleccionar los valores más grande y más pequeño entre
los valores de f(x) en los puntos críticos situados en a x b y en los puntos
extremos a y b. Esto se ilustra en el ejemplo 1. ☛ 22
Respuesta a) Máximo absoluto c,
mínimo absoluto d.
b) Máximo absoluto en d,
mínimo absoluto en a y en c.
☛ 23. Determine los valores máximo
absoluto y mínimo absoluto
de las siguientes funciones en los
intervalos dados:
a) f(x) 3 4x – x 2 en [0, 3];
b) f(x) x 3 – 12x 5 en
[3, 4]
Respuesta a) Máximo absoluto
7 en x 2, mínimo absoluto 3 en
x 0
b) máximo absoluto 21 en
x 2 y x 4,
mínimo absoluto –11 en x 2
EJEMPLO 1 Determine los valores máximo y mínimo absolutos de
f(x) 1 12x x 3 en 1 x 3
Solución Tenemos que f(x) 12 3x 2
Puesto que f(x) está definida para toda x, los puntos críticos de f están dados
por f(x) 0 o x 2 4; esto es, x 2. Pero x 2 no está dentro del intervalo
1 x 3. Así, sólo consideremos el punto crítico x 2, más los puntos extremos
x 1 y x 3. Los valores de f(x) en estos puntos son
f(1) 1 12 1 12
f(2) 1 24 8 17
f(3) 1 36 27 10
En consecuencia, el valor máximo absoluto de f(x) es 17, que ocurre en x 2, y el
mínimo absoluto es 10, que coincide con el punto extremo x 3. La gráfica de y
1 12x x 3 aparece en la figura 28. Dentro del intervalo 1 x 3, la gráfica tiene
un solo máximo local en x 2. El valor mínimo absoluto coincide con el punto
extremo x 3. ☛ 23
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