Matemáticas aplicadas

Así, si se quiere integrar cualquier potencia de x con excepción de la recíproca
de la primera potencia, debemos aumentar la potencia en 1, luego dividimos
entre el nuevo exponente y, por último, sumamos la constante de integración arbitraria.
Esta fórmula se obtiene a partir de la fórmula correspondiente para derivadas.
Observemos que
d
d x
xn1
n 1
1 d
1
(x n1 ) (n 1)x n x n
n 1 d x n 1
En consecuencia, dado que la derivada de x n+1 /(n 1) es x n , una antiderivada de x n
debe ser x n+1 /(n 1). La antiderivada general se obtiene sumando la constante de
integración.
EJEMPLO 1
x x
a) x 3 dx 31
C 4
C (n 3)
3 1 4
1
x x
b) dx x
x 2 dx 21
C 1
C
2
2 1 1
1 x C
(n 2)
☛ 3. Utilizando la fórmula para la
potencia, encuentre
a) x 4 dx b) u 3/4 du
1
t
t 1/21
( 1 2 1)
c) dt t 1/2 dt C 2t C (n 1 2 )
d) dx 1 dx x 0 dx 0
x
01
C x C (n 0)
1
☛ 3
Varias fórmulas que dan antiderivadas de funciones simples aparecen en la tabla
1. Cada fórmula se establece por segunda vez con la variable u en vez de x.
Todos estos resultados se obtienen a partir de los resultados correspondientes para
derivadas. La fórmula 2 requiere algún comentario. Si x > 0, esta fórmula es correcta,
ya que |x| x, y sabemos que
d
ln x 1 d x x
TABLA 1
Integrales elementales estándar
Respuesta
a) 1 3 x3 C b) 4 7 u7/4 C
x
1. x n n1
u
dx C (n 1) o n
u n n1
du C
1
n 1
2. 1 x dx ln⏐x⏐ C o 1 du ln⏐u⏐ C
u
3. e x dx e x C o e u du e u C
SECCIÓN 15-1 ANTIDERIVADAS 623