Matemáticas aplicadas

☛ 14. El ingreso, R, de una compañía
depende del precio unitario p
que se cobra por su producto y de
la cantidad, A, por semana que se
gasta en publicidad. Se sabe que
cuando p 15 y A 5000,
R 25,000 y el ingreso marginal
con respecto a p es –500 y con
respecto a A es 4. Calcule el ingreso
aproximado, si el precio fuese
reducido a 12 y el gasto en publicidad
se reduce a 4500.
EJEMPLO 6 Usando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa
puede producir P unidades de su producto, en donde P f(L, K). La empresa
no conoce la forma precisa de esta producción, pero dispone de la siguiente información.
1. Cuando L 64 y K 20, P es igual a 25,000.
2. Si L 64 y K 20, las productividades marginales de la mano de obra y del capital
son P L
270 y P K
350.
La empresa contempla una expansión de su planta que cambiaría L a 69 y K a 24.
Encuentre el incremento aproximado en la producción que se obtendría.
Solución Tomando L 0
64 y K 0
20, entonces para L y K pequeños
P f(L 0
L, K 0
K) f(L 0
, K 0
) f L
(L 0
, K 0
) L f K
(L 0
, K 0
) K
25,000 270 L 350 K
En la nueva operación, tendríamos que L 69 64 5 y K 24 20 4. En
consecuencia,
P 25,000 270(5) 350(4) 27,750
Respuesta 24,500
El incremento en la producción es por tanto de 27,750 25,000 2750 ☛ 14
EJERCICIOS 17-3
(1-6) (Productividades marginales) En el caso de las siguientes
funciones de producción P(L, K), determine las productividades
marginales para los valores dados de L y K.
1. P(L, K) 7L 5K 2LK L 2 2K 2 ;
L 3, K 10
2. P(L, K) 18L 5L 2 3LK 7K K 2 ;
L 4, K 8
3. P(L, K) 50L 3L 2 4L 3 2LK 2 3L 2 K 2K 3 ;
L 2, K 5
4. P(L, K) 25L 2L 2 3L 3 5LK 2 7L 2 K 2K 2 K 3 ;
L 3, K 10
5. P(L, K) 100L 0.3 K 0.7
6. P(L, K) 250L 0.6 K 0.4
7. (Función de producción Cobb-Douglass) Una función de
producción de la forma P(L, K) cL a K b , en donde c, a y
b son constantes positivas y a b 1, se denomina una
función de producción Cobb-Douglass. Pruebe que con
respecto a esta función de producción,
L P L K
K P P
8. (Función de producción homogénea) Se dice que una función
de producción P(L, K) es homogénea de grado n si L
P/L KP/K nP con n alguna constante. Determine
si la función de producción dada por
P(L, K) 5LK L 2 3K 2 a(L K)
es homogénea o no. En caso afirmativo, ¿cuál es el grado
de su homogeneidad
(9-12) (Demandas marginales) Considere las siguientes funciones
de demanda para los dos productos A y B, determine las
cuatro funciones de demanda marginal e investigue si los productos
A y B son competitivos o complementarios.
9. x A
20 3p A
p B
; x B
30 2p A
5p B
10. x A
150 0.3p 2 B 2p2 A ; x B 200 0.2p2 A 3p2 B
11. x A
30p B
/ 3 p 2 A ; x B 50p A /3 p B
SECCIÓN 17-3 APLICACIONES PARA ANÁLISIS EN LA ADMINISTRACIÓN 743