Matemáticas aplicadas

Por lo regular, esta ecuación en diferencias se escribe como
y n
(1 i)y n1
P
i 1
R
00
Tiene la forma dada en el teorema 2 con las constantes a 1 i y b P. Por tanto,
la solución es
b
P
y n
ca n c(1 i) n c(1 i) n P a 1
(1 i) 1
i
Para la condición inicial, podemos utilizar el valor después del primer pago, y 1
P,
o el valor antes de que se haga el primer pago, y 0
0. Obtendremos el mismo valor
de c en cualquier caso. Utilizando la primer condición,
y 1
c(1 i) P i P
lo cual da c P/i. Sustituyendo esta constante en la solución general anterior da el
resultado final
y n
P i [(1 i)n 1]
Como en la sección 7-3, utilizamos la notación siguiente para esta solución:
y n
Ps ni
donde s ni
1 i [(1 i)n 1]
Puede encontrar valores tabulados de s ni
para diferentes valores de n e i en la última
columna de la tabla A.3.4 en el apéndice III.
Ahora considere el pago de un préstamo, por ejemplo, la liquidación de la
hipoteca de una casa o un préstamo automotriz. Aquí, un banco u otra agencia de
préstamos presta cierta suma a un cliente, quien lo salda por medio de pagos regulares,
por lo común mensuales. Antes de estudiar la fórmula general para este tipo
de situación, considere un ejemplo específico.
EJEMPLO 10 Una pequeña compañía constructora desea pedir prestado a un banco,
para expansión de sus operaciones. El banco cobra interés al 1% mensual sobre
el saldo insoluto del préstamo y exige que el préstamo se liquide en 24 pagos mensuales.
La compañía estima que puede permitirse pagar el préstamo a un ritmo de
$1500 mensuales. ¿Cuál es la cantidad máxima que pueden pedir prestada
Solución Sea y n
el saldo insoluto del préstamo inmediatamente después del n-ésimo
pago. Como el préstamo se liquidará en 24 pagos, es necesario que y 24
0. También
podemos deducir una ecuación en diferencias como sigue:
SECCIÓN 7-4 ECUACIONES EN DIFERENCIAS 299