Matemáticas aplicadas

Recordemos la definición de continuidad de una función dada en la sección 11-2.
DEFINICIÓN Se dice que una función f(x) es continua en el punto x c si se
cumplen las tres condiciones siguientes.
1. f(x) está definida en x c. Esto es, f(c) está bien definida.
2. lím f(x) existe.
x→c
3. lím f(x) f(c).
x→c
Si no se satisface cualquiera de estas tres condiciones, se dice que la función
es discontinua en x c. Si los dos límites de f(x) cuando x tiende a c por la derecha
y por la izquierda son diferentes, decimos que f(x) presenta una discontinuidad
de salto en x c.
EJEMPLO 4 La función f(x) ⏐x⏐ es continua en x 0. Observemos que f(0)
⏐0⏐ 0, de modo que la condición 1 se cumple. Asimismo, lím f(x) existe dado
x→0
que, cuando x tiende a cero, ⏐x⏐ se aproxima el límite cero. Por último, la condición
3 se satisface, puesto que lím f(x) y f(0) son iguales a cero. La gráfica de y
x→0
⏐x⏐ se aprecia en la figura 13. Es claro que la gráfica pasa por x 0 sin ruptura alguna.
Presenta un pico (o cambio de pendiente) en x 0, pero esto no la hace discontinua.
y
4 y x
2
4 2 0 2 4 x
FIGURA 13
En el ejemplo 2, estudiamos la función f(x) ⏐x⏐/x. Esta función es discon-
f(x) no existe: los límites por la derecha y por la izquier-
tinua en x 0 porque lím
x→0
da son distintos. La gráfica presenta un salto de 1 a 1 cuando x pasa por 0. Otro
ejemplo de una función discontinua se da en el ejemplo 5.
EJEMPLO 5 Dada
f(x)
x 2
9
si x 3
x 3
5 si x 3
¿Es continua f(x) en x 3
SECCIÓN 11-6 CONTINUIDAD Y DIFERENCIABILIDAD (SECCIÓN OPCIONAL) 485