Matemáticas aplicadas

Esto es, si una cantidad igual a $5000(1.08) 1 la deposita el señor Hernández al
cumplir 65 años, se habrá incrementado a $5000 al cumplir 66 años.
Ahora consideremos el segundo pago, el cual recibirá al cumplir 67 años. Este
debe pagarse con un depósito, A 2
, realizado 2 años antes. Dado que A 2
acumula
un interés del 8% por 2 años, debemos tener que
A 2
(1.08) 2 5000
si debe ser bastante para aumentar a $5000 al llegar a su aniversario número 67. Así
que
A 2
5000(1.08) 2
Esto es, si el señor Hernández deposita una cantidad igual a A 2
en su aniversario número
65, se habrá incrementado a $5000 dos años después. Es claro que si el señor
Hernández deposita las cantidades A 1
A 2
al cumplir 65 años, la inversión será la
justa para poder recibir $5000 en sus cumpleaños números 66 y 67.
Continuando en esta forma, un depósito de A 3
$5000(1.08) 3 se incrementará
a $5000 después de 3 años (al cumplir 68 años), etc. El último pago de $5000
lo recibirá al cumplir 75 años, de modo que habrá invertido durante 10 años. De aquí
que requerirá un depósito de $5000(1.08) 10 .
En consecuencia, con el objetivo de recibir los 10 pagos, la cantidad total que
el señor Hernández deberá depositar al cumplir 65 años está dada por
A A 1
A 2
A 3
A 10
5000(1.08) 1 5000(1.08) 2 5000(1.08) 3 5000(1.08) 10
Esta expresión representa la suma de 10 términos de una PG con primer término a
5000(1.08) 1 y cuya razón común es r (1.08) 1 . Por tanto,
A a( 1
1
r n )
r
5000(1.08) 1 [1 (1.08) 10 ]
1 (1.08) 1
Multiplicando numerador y denominador por 1.08,
5000[1 (1.08)
A
10 ] 5000[1 (1.08)
10 ]
1.08[1 (1.08) 1 ] 1.08 1
5000
[1 (1.08) 10 ]
0.08
5000
(1 0.4632)
0.08
☛ 17. En el ejemplo 2, ¿cuánto
debe pagarse para comprar la
anualidad, si la tasa de interés
es 6% anual
Respuesta $36,800.44
33,550
Así que, el señor Hernández deberá depositar $33,550 con el propósito de adquirir
su anualidad de $5000 por 10 años. ☛ 17
Ahora generalicemos este ejemplo. Supongamos que se adquiere una anualidad
con un pago previo A y que los pagos de la anualidad son iguales a P. Estos
284 CAPÍTULO 7 PROGRESIONES Y MATEMÁTICAS FINANCIERAS