Matemáticas aplicadas

☛ 14. Determine los intervalos
en los que la gráfica de cada una de
las siguientes funciones pertenece a
cada uno de los cuatro tipos.
a) f(x) 2x x 2
b) f(x) 2x 2 2 3 x3
Analizando el signo de y como en la sección 13-1, encontramos que y 0
para x 1 y para x 2; mientras que y 0 para 1 x 2. Así la gráfica es creciente
para x 1, decreciente para 1 x 2 y nuevamente creciente para x 2.
(Véase la parte a) de la figura 21).
a)
1 2
b)
3
2
c)
1 3 2
2
d)
1 3 2
2
FIGURA 21
Respuesta
a)
1
b)
0 1
2
Por medio de la prueba de la primera derivada, y tiene un máximo local cuando
x 1 y un mínimo local cuando x 2. Con facilidad se encuentra que cuando
x 1, y 3 y cuando x 2, y 2. Así las coordenadas de los extremos locales
son (1, 3) y (2, 2).
Ahora examinemos la concavidad de la función. Encontramos
y12x 18 12(x 3 2 )
y así y 0 cuando x 3 2 (cóncava hacia arriba); mientras que y 0 cuando x
3 2 (cóncava hacia abajo). Esta información se esquematiza en la parte b) de la figura
21. Cuando x 3 , 2 y 5 , 2 de modo que el punto (3 , 2 5 )
2
es un punto de inflexión
en la gráfica.
Combinando la información de las partes a) y b), podemos resumirla como se
advierte en la parte c) de la figura 21; esto es, si x 1, y es creciente y cóncava hacia
abajo; cuando 1 x 3 ,
2
y decrece y es cóncava hacia abajo; etcétera. Esta
información se traduce en una forma cualitativa para la gráfica en la parte d) de la
figura 21.
Por último, calculamos las coordenadas del punto en que la gráfica corta al eje
y. Si x 0, y 2, de modo que el punto es (0, 2).
A fin de bosquejar la gráfica, graficamos primero los puntos (1, 3), ( 3 , 2 5 ), 2
(2, 2), en donde f(x) cambia su naturaleza (de creciente a decreciente o de cóncava
hacia arriba a cóncava hacia abajo) y el punto (0, 2) en que la gráfica corta al eje
y. Entonces, usando la información de la figura 21, dibujamos curvas del tipo apropiado
que unan estos puntos. Esto da la gráfica como se aprecia en la figura 22.
☛ 14
SECCIÓN 13-4 BOSQUEJO DE CURVAS POLINOMIALES 553